Номер 3.64, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. Высота конуса равна $\text{h}$. Площадь сечения, параллельная плоскости основания, в 2 раза меньше площади основания. Найдите расстояние между плоскостями сечения и основания.

Пусть $h$ — высота исходного конуса, $R$ — радиус его основания, а $S_{осн}$ — площадь основания. Тогда $S_{осн} = \pi R^2$.

Сечение, параллельное основанию, представляет собой круг. Обозначим радиус этого круга как $r$, а его площадь как $S_{сеч}$. Тогда $S_{сеч} = \pi r^2$.

По условию задачи, площадь сечения в 2 раза меньше площади основания:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} S_{осн}$

Подставим формулы площадей:

$\pi r^2 = \frac{1}{2} \pi R^2$

Разделив обе части на $\pi$, получим соотношение для радиусов:

$r^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{r^2}{R^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{r}{R} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Пусть высота этого меньшего конуса (расстояние от вершины до плоскости сечения) равна $h_1$.

Отношение высот подобных конусов равно отношению радиусов их оснований (коэффициенту подобия):

$\frac{h_1}{h} = \frac{r}{R}$

Используя найденное ранее соотношение радиусов, получаем:

$\frac{h_1}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда высота малого конуса:

$h_1 = \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h\sqrt{2}}{2}$

Искомое расстояние между плоскостями сечения и основания — это разность между высотой всего конуса $h$ и высотой малого конуса $h_1$:

$d = h - h_1 = h - \frac{h\sqrt{2}}{2}$

Вынося $h$ за скобки, получаем окончательный результат:

$d = h \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = h \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $h \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$