Номер 3.69, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, а площадь полной поверхности конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг его высоты, равна $64 \text{ см}^2$. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a$, $a$ и $b$, где $a$ — боковая сторона, а $b$ — основание. Периметр треугольника $P$ равен 30 см, что можно записать как:

$P = 2a + b = 30$

При вращении этого треугольника вокруг его высоты, проведенной к основанию, образуется конус. Параметры этого конуса связаны со сторонами треугольника следующим образом:

• Образующая конуса $l$ равна боковой стороне треугольника: $l = a$.
• Радиус основания конуса $r$ равен половине основания треугольника: $r = \frac{b}{2}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r+l)$.

В условии задачи указано, что площадь равна 64 см². Вероятнее всего, имеется в виду $64\pi$ см², так как это стандартная форма записи в подобных задачах, позволяющая получить рациональное решение. Примем, что $S_{полн} = 64\pi$ см².

$S_{полн} = \pi r (r+l) = 64\pi$

Разделим обе части на $\pi$:

$r(r+l) = 64$

Теперь подставим выражения для $r$ и $l$ через стороны треугольника $a$ и $b$:

$\frac{b}{2} \left( \frac{b}{2} + a \right) = 64$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$b(b + 2a) = 256$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $2a + b = 30$

2) $b(b + 2a) = 256$

Подставим значение $(2a + b)$ из первого уравнения во второе:

$b \cdot 30 = 256$

Отсюда находим основание $b$:

$b = \frac{256}{30} = \frac{128}{15}$ см

Теперь найдем боковую сторону $a$, подставив значение $b$ в первое уравнение:

$2a + \frac{128}{15} = 30$

$2a = 30 - \frac{128}{15} = \frac{30 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15} = \frac{450 - 128}{15} = \frac{322}{15}$

$a = \frac{322}{15 \cdot 2} = \frac{161}{15}$ см

Таким образом, стороны треугольника равны $\frac{161}{15}$ см, $\frac{161}{15}$ см и $\frac{128}{15}$ см. В виде смешанных дробей это $10\frac{11}{15}$ см и $8\frac{8}{15}$ см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны $\frac{161}{15}$ см, основание равно $\frac{128}{15}$ см.