Поиск

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Номер 3.75, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Шыныбеков Абдухали Насырулы, Шыныбеков Данияр Абдухалиулы, Жумабаев Ринат Нурланович, Маделханов Сержан Сункарович, издательство Атамұра, Алматы, 2020, бирюзового цвета

Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н., Маделханов С. С.

Тип: Учебник

Издательство: Атамұра

Год издания: 2020 - 2026

Уровень обучения: Естественно-математическое направление

Цвет обложки: бирюзовый

ISBN: 978-601-331-738-0

Раздел 3. Тела вращения. 3.2. Конус. Усеченный конус - номер 3.75, страница 113.

Вернуться к содержанию
№3.75 (с. 113)
Условие. №3.75 (с. 113)
скриншот условия
Геометрия, 11 класс Учебник, авторы: Шыныбеков Абдухали Насырулы, Шыныбеков Данияр Абдухалиулы, Жумабаев Ринат Нурланович, Маделханов Сержан Сункарович, издательство Атамұра, Алматы, 2020, бирюзового цвета, страница 113, номер 3.75, Условие

3.75. Угол между образующей $\text{l}$ и высотой $\text{h}$ конуса равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности правильной:

1) треугольной;

2) четырехугольной;

3) шестиугольной пирамиды, вписанной в данный конус.

Решение. №3.75 (с. 113)

Пусть $l$ - образующая конуса, $h$ - его высота, а $R$ - радиус основания. По условию, угол между образующей и высотой равен $30^\circ$. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $l$ - гипотенуза, а $h$ и $R$ - катеты.

Из этого треугольника находим радиус основания конуса: $R = l \cdot \sin(30^\circ) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a$, где $P$ - периметр основания, а $a$ - апофема пирамиды (высота боковой грани).

Так как пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра равны образующей конуса $l$, а ее основание (правильный многоугольник) вписано в окружность основания конуса радиусом $R = \frac{l}{2}$.

Боковая грань пирамиды - это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $l$, и основанием, равным стороне многоугольника в основании пирамиды, которую мы обозначим как $s$. Апофему $a$ можно найти по теореме Пифагора из этого треугольника: $a = \sqrt{l^2 - (\frac{s}{2})^2}$.

1) треугольной

Основание пирамиды - правильный треугольник, вписанный в окружность радиусом $R = \frac{l}{2}$. Сторона такого треугольника $s_3$ связана с радиусом описанной окружности формулой $s_3 = R\sqrt{3}$.

Подставляем $R = \frac{l}{2}$: $s_3 = \frac{l}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Периметр основания: $P_3 = 3s_3 = 3 \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{3l\sqrt{3}}{2}$.

Находим апофему пирамиды $a_3$: $a_3 = \sqrt{l^2 - (\frac{s_3}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{l\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{3l^2}{16}} = \sqrt{\frac{16l^2 - 3l^2}{16}} = \sqrt{\frac{13l^2}{16}} = \frac{l\sqrt{13}}{4}$.

Теперь находим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_3 \cdot a_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3l\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{l\sqrt{13}}{4} = \frac{3\sqrt{39}l^2}{16}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{39}l^2}{16} $.

2) четырехугольной

Основание пирамиды - квадрат, вписанный в окружность радиусом $R = \frac{l}{2}$. Сторона квадрата $s_4$ связана с радиусом описанной окружности формулой $s_4 = R\sqrt{2}$.

Подставляем $R = \frac{l}{2}$: $s_4 = \frac{l}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{l\sqrt{2}}{2}$.

Периметр основания: $P_4 = 4s_4 = 4 \cdot \frac{l\sqrt{2}}{2} = 2l\sqrt{2}$.

Находим апофему пирамиды $a_4$: $a_4 = \sqrt{l^2 - (\frac{s_4}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{l\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{2l^2}{16}} = \sqrt{\frac{14l^2}{16}} = \frac{l\sqrt{14}}{4}$.

Теперь находим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_4 \cdot a_4 = \frac{1}{2} \cdot 2l\sqrt{2} \cdot \frac{l\sqrt{14}}{4} = \frac{l^2\sqrt{28}}{4} = \frac{l^2 \cdot 2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}l^2}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{7}l^2}{2} $.

3) шестиугольной

Основание пирамиды - правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиусом $R = \frac{l}{2}$. Сторона такого шестиугольника $s_6$ равна радиусу описанной окружности: $s_6 = R$.

Подставляем $R = \frac{l}{2}$: $s_6 = \frac{l}{2}$.

Периметр основания: $P_6 = 6s_6 = 6 \cdot \frac{l}{2} = 3l$.

Находим апофему пирамиды $a_6$: $a_6 = \sqrt{l^2 - (\frac{s_6}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{l}{4})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{l^2}{16}} = \sqrt{\frac{15l^2}{16}} = \frac{l\sqrt{15}}{4}$.

Теперь находим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_6 \cdot a_6 = \frac{1}{2} \cdot 3l \cdot \frac{l\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}l^2}{8}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{15}l^2}{8} $.

Другие задания:

3.68 3.69 3.70 3.71 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 3.79 3.80 3.81 3.82 Полный список заданий

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 3.75 расположенного на странице 113 к учебнику 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №3.75 (с. 113), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырулы), Шыныбеков (Данияр Абдухалиулы), Жумабаев (Ринат Нурланович), Маделханов (Сержан Сункарович), Естественно-математическое направление уровень обучения учебного пособия издательства Атамұра.