Номер 3.57, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Осевого сечения усеченного конуса – равнобокая трапеция с основаниями, равными $\text{a}$ и $\text{b}$. Высота трапеции равна $\text{h}$. Найдите площадь его боковой поверхности, если:

1) $a=2$ м, $b=10$ м, $h=3$ м;

2) $a=10$ см, $b=22$ см, $h=8$ см;

3) $a=5$ см, $b=19$ см, $h=24$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

В условии дано, что осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$. Основания трапеции являются диаметрами оснований конуса.

Следовательно, радиусы оснований конуса равны $r = \frac{a}{2}$ и $R = \frac{b}{2}$ (при условии $b > a$).

Образующая конуса $l$ является боковой стороной равнобокой трапеции. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $R-r$, а гипотенузой — сама образующая $l$.

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2}$

Теперь решим задачу для каждого из трех случаев.

1) Дано: $a = 2$ м, $b = 10$ м, $h = 3$ м.

Найдем радиусы оснований: $r = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м. $R = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5$ м.

Найдем длину образующей $l$: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{3^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ м.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(5+1) \cdot 5 = 30\pi$ м².

Ответ: $30\pi$ м².

2) Дано: $a = 10$ см, $b = 22$ см, $h = 8$ см.

Найдем радиусы оснований: $r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. $R = \frac{b}{2} = \frac{22}{2} = 11$ см.

Найдем длину образующей $l$: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{8^2 + (11-5)^2} = \sqrt{64 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(11+5) \cdot 10 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².

3) Дано: $a = 5$ см, $b = 19$ см, $h = 24$ см.

Найдем радиусы оснований: $r = \frac{a}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см. $R = \frac{b}{2} = \frac{19}{2} = 9,5$ см.

Найдем длину образующей $l$: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{24^2 + (9,5-2,5)^2} = \sqrt{576 + 7^2} = \sqrt{576+49} = \sqrt{625} = 25$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(9,5+2,5) \cdot 25 = \pi \cdot 12 \cdot 25 = 300\pi$ см².

Ответ: $300\pi$ см².