Номер 3.92, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.92. Напишите уравнение касательной плоскости к сфере в указанной точке:

1) $x^2+y^2+z^2=14$, $A(1; -2;3)$

2) $x^2+y^2+z^2=625$, $B(20; 0; -15)$

3) $x^2+y^2+z^2=9$, $C(2; 2;-1)$

Сначала убедитесь, что точка принадлежит данной сфере.

1) Дана сфера $x^2+y^2+z^2=14$ и точка $A(1; -2; 3)$.

Сначала, согласно условию, убедимся, что точка $A$ принадлежит данной сфере. Для этого подставим ее координаты в уравнение сферы:

$1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.

Так как $14 = 14$, равенство выполняется, следовательно, точка $A$ действительно лежит на поверхности сферы.

Уравнение касательной плоскости к сфере с центром в начале координат $x^2+y^2+z^2=R^2$ в точке касания $(x_0, y_0, z_0)$ на сфере имеет вид:

$x_0x + y_0y + z_0z = R^2$.

Для данного случая имеем: точка касания $A(x_0, y_0, z_0) = (1, -2, 3)$ и квадрат радиуса $R^2=14$. Подставляя эти значения в формулу, получаем уравнение искомой касательной плоскости:

$1 \cdot x + (-2) \cdot y + 3 \cdot z = 14$

$x - 2y + 3z = 14$

Или в общем виде:

$x - 2y + 3z - 14 = 0$.

Ответ: $x - 2y + 3z - 14 = 0$.

2) Дана сфера $x^2+y^2+z^2=625$ и точка $B(20; 0; -15)$.

Проверим, принадлежит ли точка $B$ сфере, подставив ее координаты в уравнение:

$20^2 + 0^2 + (-15)^2 = 400 + 0 + 225 = 625$.

Так как $625 = 625$, равенство выполняется, точка $B$ лежит на сфере.

Используем формулу уравнения касательной плоскости $x_0x + y_0y + z_0z = R^2$ с точкой касания $B(x_0, y_0, z_0) = (20, 0, -15)$ и $R^2=625$.

$20 \cdot x + 0 \cdot y + (-15) \cdot z = 625$

$20x - 15z = 625$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:

$4x - 3z = 125$

Или в общем виде:

$4x - 3z - 125 = 0$.

Ответ: $4x - 3z - 125 = 0$.

3) Дана сфера $x^2+y^2+z^2=9$ и точка $C(2; 2; -1)$.

Проверим, принадлежит ли точка $C$ сфере, подставив ее координаты в уравнение:

$2^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$.

Так как $9 = 9$, равенство выполняется, точка $C$ лежит на сфере.

Используем формулу уравнения касательной плоскости $x_0x + y_0y + z_0z = R^2$ с точкой касания $C(x_0, y_0, z_0) = (2, 2, -1)$ и $R^2=9$.

$2 \cdot x + 2 \cdot y + (-1) \cdot z = 9$

$2x + 2y - z = 9$

Или в общем виде:

$2x + 2y - z - 9 = 0$.

Ответ: $2x + 2y - z - 9 = 0$.