Номер 3.106, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.106. Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ расположены на сфере с центром в точке $\text{O}$, причем $\text{AB}$ не является диаметром. Для того чтобы точка $C \in AB$ была серединой отрезка $\text{AB}$, необходимо и достаточно, чтобы $OC \perp AB$. Докажите.

Данное утверждение является критерием, то есть содержит необходимое и достаточное условие. Для его доказательства нужно рассмотреть две части: необходимость и достаточность.

Условие, что отрезок AB не является диаметром, гарантирует, что точки A, B и O не лежат на одной прямой, а значит, образуют невырожденный треугольник $\Delta OAB$, к которому мы и будем применять геометрические свойства.

Доказательство необходимости

Докажем, что если точка C является серединой отрезка AB, то отрезок OC перпендикулярен отрезку AB ($OC \perp AB$).

Рассмотрим треугольник $\Delta OAB$. Так как точки A и B лежат на сфере с центром в точке O, отрезки OA и OB являются радиусами этой сферы. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\Delta OAB$ является равнобедренным с основанием AB.

По условию, точка C — середина отрезка AB. Таким образом, отрезок OC является медианой треугольника $\Delta OAB$, проведенной к его основанию.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также его высотой. Поскольку OC является высотой, она перпендикулярна основанию AB.

Следовательно, $OC \perp AB$.

Ответ: Доказано, что если C — середина AB, то $OC \perp AB$.

Доказательство достаточности

Докажем, что если отрезок OC перпендикулярен отрезку AB ($OC \perp AB$), где $C \in AB$, то точка C является серединой отрезка AB.

Снова рассмотрим треугольник $\Delta OAB$. Как было показано ранее, он является равнобедренным с основанием AB, так как $OA = OB$ (как радиусы сферы).

По условию, $OC \perp AB$. Это означает, что отрезок OC является высотой треугольника $\Delta OAB$, опущенной на его основание AB.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также его медианой. Поскольку OC является медианой, она делит основание AB на два равных отрезка: $AC = CB$.

Так как точка C принадлежит отрезку AB и делит его пополам, она является его серединой.

Следовательно, C — середина AB.

Ответ: Доказано, что если $OC \perp AB$, то C — середина AB.

Поскольку доказаны оба утверждения (необходимость и достаточность), исходное утверждение полностью доказано.