Номер 3.104, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.104. Вершины треугольника $ABC$ расположены на сфере, радиус которой равен 13. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $AB = 6$, $BC = 8$ и $AC = 10$.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. По условию задачи, $R = 13$.

Вершины треугольника $ABC$ расположены на сфере. Это означает, что плоскость, в которой лежит треугольник, пересекает сферу по окружности. Эта окружность является описанной для треугольника $ABC$.

Пусть $O'$ - центр этой описанной окружности, а $r$ - ее радиус. Искомое расстояние от центра сферы $O$ до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра $OO'$, который мы обозначим как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO'A$, где $A$ - одна из вершин треугольника $ABC$. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы $R$, один катет $O'A$ равен радиусу описанной окружности $r$, а второй катет $OO'$ равен искомому расстоянию $d$. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем: $R^2 = d^2 + r^2$.

Отсюда, $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Чтобы найти $d$, нам нужно сначала вычислить радиус $r$ описанной окружности треугольника $ABC$. Даны стороны треугольника: $AB = 6$, $BC = 8$ и $AC = 10$.

Проверим, является ли треугольник $ABC$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

$AC^2 = 10^2 = 100$.

Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ и гипотенузой $AC$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Таким образом:

$r = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь, зная радиус сферы $R = 13$ и радиус описанной окружности треугольника $r = 5$, мы можем найти искомое расстояние $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.