Номер 3.114, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.114. Расстояние между центрами двух сфер радиусами 25 см и 29 см равно 36 см. Найдите длину общей окружности этих сфер.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы двух сфер, а $d$ — расстояние между их центрами. По условию, $R_1 = 25$ см, $R_2 = 29$ см, $d = 36$ см.

Пересечение двух сфер представляет собой окружность. Чтобы найти радиус этой окружности, рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры обеих сфер. В этом сечении мы получим два пересекающихся круга. Центры сфер $O_1$ и $O_2$, а также любая точка $A$ на окружности их пересечения образуют треугольник $O_1AO_2$.

Стороны этого треугольника равны:

$O_1A = R_1 = 25$ см

$O_2A = R_2 = 29$ см

$O_1O_2 = d = 36$ см

Радиус $r$ общей окружности этих сфер является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $O_1O_2$. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона, предварительно вычислив полупериметр $s$:

$s = \frac{R_1 + R_2 + d}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Площадь треугольника $S$ равна:

$S = \sqrt{s(s-R_1)(s-R_2)(s-d)} = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)}$

$S = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(5 \cdot 9) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{5^2 \cdot 9^2 \cdot 4 \cdot 16} = 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 4 = 360$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через его основание $d$ и высоту $r$:

$S = \frac{1}{2} d \cdot r$.

Отсюда мы можем найти радиус $r$ общей окружности:

$r = \frac{2S}{d} = \frac{2 \cdot 360}{36} = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Теперь найдем длину общей окружности $L$ по формуле $L = 2\pi r$:

$L = 2\pi \cdot 20 = 40\pi$ см.

Ответ: $40\pi$ см.