Практическая работа, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Эту формулу также можно обосновать с помощью определенного интеграла (рис. 4.7). Докажите это, объединившись в группы.

Рис. 4.7 $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h.$ (5)

Для доказательства формулы объема пирамиды $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$ воспользуемся методом сечений и определенным интегралом. Разместим пирамиду в системе координат, как показано на рисунке 4.7. Пусть высота пирамиды $h$ располагается вдоль оси $Ox$, вершина пирамиды $C$ находится в точке с координатой $h$, а основание пирамиды, имеющее площадь $S_{осн}$, лежит в плоскости $yOz$ (то есть в плоскости $x=0$).

Объем тела можно вычислить как интеграл от площади его поперечного сечения по оси, перпендикулярной этому сечению. В нашем случае формула для объема будет выглядеть так:

$V = \int_{0}^{h} S(x) dx$

где $S(x)$ – это площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку с координатой $x$ на этой оси, где $0 \le x \le h$.

Рассмотрим сечение пирамиды на расстоянии $x$ от основания (то есть в точке с координатой $x$). Это сечение представляет собой многоугольник, подобный основанию пирамиды. Пусть его площадь равна $S(x)$.

Сравним исходную пирамиду (с высотой $h$ и площадью основания $S_{осн}$) и малую пирамиду, образованную вершиной $C$ и сечением с площадью $S(x)$. Высота малой пирамиды равна расстоянию от вершины $C$ (с координатой $h$) до плоскости сечения (с координатой $x$), то есть ее высота равна $h-x$.

Из свойства подобных тел известно, что отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их высот:

$\frac{S(x)}{S_{осн}} = \left(\frac{h-x}{h}\right)^2$

Отсюда мы можем выразить площадь сечения $S(x)$ как функцию от $x$:

$S(x) = S_{осн} \cdot \frac{(h-x)^2}{h^2}$

Теперь подставим это выражение для $S(x)$ в интеграл для вычисления объема:

$V = \int_{0}^{h} S_{осн} \cdot \frac{(h-x)^2}{h^2} dx$

Поскольку $S_{осн}$ и $h$ являются постоянными величинами, мы можем вынести множитель $\frac{S_{осн}}{h^2}$ за знак интеграла:

$V = \frac{S_{осн}}{h^2} \int_{0}^{h} (h-x)^2 dx$

Вычислим полученный определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $(h-x)^2$ равна $-\frac{(h-x)^3}{3}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{h} (h-x)^2 dx = \left[ -\frac{(h-x)^3}{3} \right]_{0}^{h} = \left(-\frac{(h-h)^3}{3}\right) - \left(-\frac{(h-0)^3}{3}\right) = 0 - \left(-\frac{h^3}{3}\right) = \frac{h^3}{3}$

Подставим найденное значение интеграла обратно в выражение для объема:

$V = \frac{S_{осн}}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3}$

После сокращения $h^2$ и $h^3$ получаем искомую формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Таким образом, формула объема пирамиды была успешно доказана с помощью определенного интеграла.

Ответ: Доказательство приведено выше. Путем интегрирования площади поперечного сечения пирамиды $S(x) = S_{осн} \left(\frac{h-x}{h}\right)^2$ в пределах от $0$ до $h$ мы получаем $V = \int_{0}^{h} S_{осн} \left(\frac{h-x}{h}\right)^2 dx = \frac{S_{осн}}{h^2} \left[ -\frac{(h-x)^3}{3} \right]_{0}^{h} = \frac{S_{осн}}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, что и доказывает исходную формулу.