Номер 4.4, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.4. Найдите объемы тел, изображенных на рис. 4.12, 4.13.

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Рис. 4.12

На рисунке 4.12 изображена пирамида. Ее основанием является равносторонний треугольник со стороной $a = 8$. Высота пирамиды $H = 6$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим в формулу значение стороны $a = 8$: $S_{осн} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$.

Теперь, зная площадь основания и высоту $H = 6$, вычислим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 6 = 16\sqrt{3} \cdot \frac{6}{3} = 16\sqrt{3} \cdot 2 = 32\sqrt{3}$.

Ответ: $32\sqrt{3}$.

Рис. 4.13

На рисунке 4.13 изображена пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами $b = 9$ и $c = 12$. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, следовательно, его длина является высотой пирамиды $H = 8$.

Объем пирамиды вычисляется по той же формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c$.

Подставим значения катетов $b=9$ и $c=12$: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 9 \cdot 6 = 54$.

Теперь вычислим объем пирамиды, зная площадь основания и высоту $H=8$: $V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144$.

Ответ: $144$.