Номер 4.5, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.5. Найдите объем составного тела, в нижней части которого расположен прямой параллелепипед размером $8 \times 8 \times 2$, а в верхней части – правильная четырехугольная пирамида (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Для того чтобы найти объем составного тела, необходимо сложить объемы его частей: прямого параллелепипеда, расположенного внизу, и правильной четырехугольной пирамиды, расположенной сверху.

1. Вычисление объема прямого параллелепипеда

Объем прямого параллелепипеда ($V_{пар}$) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ – стороны основания, а $c$ – высота. Согласно условию задачи и данным на рисунке, измерения параллелепипеда составляют $8 \times 8 \times 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$V_{пар} = 8 \cdot 8 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$

2. Вычисление объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем пирамиды ($V_{пир}$) находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

Основанием пирамиды служит верхняя грань параллелепипеда, которая является квадратом со стороной 8. Найдем площадь этого квадрата:

$S_{осн} = 8^2 = 64$

Высота пирамиды, как показано на рисунке (вертикальная пунктирная линия), равна $h=8$.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \frac{512}{3}$

3. Вычисление общего объема составного тела

Общий объем тела ($V_{общ}$) равен сумме объемов параллелепипеда и пирамиды:

$V_{общ} = V_{пар} + V_{пир} = 128 + \frac{512}{3}$

Для сложения приведем целое число к дроби с общим знаменателем 3:

$128 = \frac{128 \cdot 3}{3} = \frac{384}{3}$

Сложим объемы:

$V_{общ} = \frac{384}{3} + \frac{512}{3} = \frac{384 + 512}{3} = \frac{896}{3}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $298\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{896}{3}$