Номер 4.12, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Высота треугольной призмы равна $\text{h}$, а стороны основания – $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$. Найдите объем призмы, если:

1) $a=15$ см, $b=14$ см, $c=13$ см, $h=12$ см;

2) $a=17$ дм, $b=65$ дм, $c=80$ дм, $h=100$ дм.

1) Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы. В основании лежит треугольник со сторонами $a=15$ см, $b=14$ см и $c=13$ см. Высота призмы $h=12$ см. Площадь треугольника в основании найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+14+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Зная площадь основания и высоту, найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 84 \cdot 12 = 1008$ см³.

Ответ: $1008$ см³.

2) Аналогично первому пункту, используем формулу для объема призмы $V = S_{осн} \cdot h$. Даны стороны основания $a=17$ дм, $b=65$ дм, $c=80$ дм и высота призмы $h=100$ дм.

Вычислим полупериметр треугольника в основании:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+65+80}{2} = \frac{162}{2} = 81$ дм.

Вычислим площадь основания $S_{осн}$ по формуле Герона:

$S_{осн} = \sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)} = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} = \sqrt{82944} = 288$ дм².

Теперь найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 288 \cdot 100 = 28800$ дм³.

Ответ: $28800$ дм³.