Номер 4.15, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Стороны основания пирамиды, высота которой равна $\text{h}$, равны $\text{a}$ и $\text{b}$, а острый угол между ними – $\varphi$. Найдите объем пирамиды, если:

1) $h=7$ см, $a=4$ см, $b=8$ см, $\varphi=30^\circ$;

2) $h=\sqrt{2}$ м, $a=5$ м, $b=10$ м, $\varphi=45^\circ$;

3) $h=10$ мм, $a=7$ мм, $b=7\sqrt{3}$ мм, $\varphi=60^\circ$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. В условии задачи сказано, что основание имеет стороны $a$ и $b$ и острый угол $\phi$ между ними. Это означает, что в основании лежит параллелограмм, площадь которого вычисляется по формуле $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\phi)$. Следовательно, итоговая формула для объема пирамиды в данной задаче будет выглядеть так: $V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\phi) \cdot h$.

1) Подставим в формулу заданные значения: $h=7$ см, $a=4$ см, $b=8$ см, $\phi=30^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\phi) = 4 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $S_{осн} = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см².

Теперь вычислим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 7 = \frac{112}{3} = 37 \frac{1}{3}$ см³.

Ответ: $37 \frac{1}{3}$ см³.

2) Подставим в формулу заданные значения: $h=\sqrt{2}$ м, $a=5$ м, $b=10$ м, $\phi=45^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\phi) = 5 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)$.

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $S_{осн} = 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}$ м².

Теперь вычислим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 2 = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$ м³.

Ответ: $16 \frac{2}{3}$ м³.

3) Подставим в формулу заданные значения: $h=10$ мм, $a=7$ мм, $b=7\sqrt{3}$ мм, $\phi=60^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\phi) = 7 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$.

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $S_{осн} = 49\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 49 \cdot \frac{3}{2} = \frac{147}{2}$ мм².

Теперь вычислим объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{147}{2} \cdot 10 = \frac{1470}{6} = 245$ мм³.

Ответ: $245$ мм³.