Номер 4.21, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Найдите объем тетраэдра, ребро которого равно $\text{a}$.

Подразумевается, что речь идет о правильном тетраэдре, у которого все четыре грани — это равные равносторонние треугольники, и все шесть ребер равны $a$. Объем любой пирамиды, которой является и тетраэдр, находится по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота, опущенная на это основание.

В качестве основания тетраэдра возьмем один из равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь такого треугольника равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Далее найдем высоту тетраэдра $H$. В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины, проецируется в центр основания. Этот центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот равностороннего треугольника, а также центром описанной окружности. Расстояние от вершины основания до центра (то есть, до основания высоты тетраэдра) равно радиусу $R$ описанной окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется как $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром тетраэдра (гипотенуза, равная $a$), высотой тетраэдра (катет $H$) и радиусом описанной окружности основания (второй катет $R$). По теореме Пифагора: $a^2 = H^2 + R^2$. Отсюда выразим высоту: $H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$. Следовательно, $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{3 \cdot 6}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36}$. Упростим выражение, зная, что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$: $V = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$