Номер 4.23, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. Найдите объем октаэдра, ребро которого равно 10 см.

Для нахождения объема правильного октаэдра с ребром $a$ используется формула:

$V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$

Эту формулу можно вывести, рассмотрев октаэдр как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями. Пусть $a$ - ребро октаэдра.

1. Объем октаэдра $V$ равен удвоенному объему одной из этих пирамид $V_{пир}$: $V = 2 \cdot V_{пир}$.

2. Объем пирамиды находится по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

3. Основанием является квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_{осн} = a^2$.

4. Высота пирамиды $h$ — это катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковое ребро пирамиды (равное $a$), а второй катет — половина диагонали основания ($\frac{d}{2}$). Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, следовательно, половина диагонали равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

5. По теореме Пифагора находим высоту $h$:

$h^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

$h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

6. Теперь находим объем одной пирамиды:

$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

7. Объем октаэдра:

$V = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

По условию задачи ребро октаэдра $a = 10$ см. Подставим это значение в выведенную формулу:

$V = \frac{10^3 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{1000\sqrt{2}}{3}$ (см³)

Ответ: $\frac{1000\sqrt{2}}{3}$ см³.