Номер 4.22, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22. Каждая боковая грань параллелепипеда есть квадрат со стороной, равной 6 см, а острый угол ромба, являющегося его основанием, равен $60^\circ$. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Из условия задачи следует, что каждая боковая грань является квадратом со стороной 6 см. Рассмотрим одну из вершин основания, например, $A$. Пусть из нее выходят два ребра основания, $AB$ и $AD$, и одно боковое ребро $AA'$. Поскольку боковые грани $ABB'A'$ и $ADD'A'$ — это квадраты, их стороны равны 6 см, а углы прямые. Это означает, что длина ребра основания равна длине бокового ребра ($AB = AD = AA' = 6 \text{ см}$), и боковое ребро $AA'$ перпендикулярно ребрам основания $AB$ и $AD$.

Так как боковое ребро перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости основания, оно перпендикулярно всей плоскости основания. Следовательно, данный параллелепипед является прямым, а его высота $H$ равна длине бокового ребра: $H = 6 \text{ см}$.

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной $a = 6 \text{ см}$ и острым углом $\alpha = 60^\circ$. Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле площади ромба: $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу: $S_{осн} = 6^2 \cdot \sin(60^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем параллелепипеда: $V = S_{осн} \cdot H = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $108\sqrt{3} \text{ см}^3$.