Номер 4.19, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.19. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное $\text{b}$, образует с ее высотой угол $\phi$. Найдите ее объем, если:

1) $b=6$ м, $\phi=30^\circ$;

2) $b=12$ см, $\phi=60^\circ$;

3) $b=\sqrt{2}$ дм, $\phi=45^\circ$.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания (квадрата), а $H$ – высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (которое является гипотенузой) и половиной диагонали основания $R$ (которое является катетом). Угол между боковым ребром $b$ и высотой $H$ по условию равен $\phi$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим:

Высота пирамиды: $H = b \cdot \cos{\phi}$

Половина диагонали основания: $R = b \cdot \sin{\phi}$

Так как в основании лежит квадрат, его диагональ $d = 2R = 2b \sin{\phi}$. Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю соотношением $d = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2b \sin{\phi}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} b \sin{\phi}$.

Площадь основания (квадрата) равна $S_{осн} = a^2 = (\sqrt{2} b \sin{\phi})^2 = 2b^2\sin^2{\phi}$.

Теперь подставим выражения для $H$ и $S_{осн}$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (2b^2\sin^2{\phi}) \cdot (b \cos{\phi}) = \frac{2}{3} b^3 \sin^2{\phi} \cos{\phi}$.

Теперь решим задачу для каждого из случаев.

1) Дано: $b = 6 \text{ м}$, $\phi = 30^\circ$.

Подставляем значения в выведенную формулу:

$V = \frac{2}{3} \cdot 6^3 \cdot \sin^2{30^\circ} \cdot \cos{30^\circ} = \frac{2}{3} \cdot 216 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 216 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$V = \frac{2 \cdot 216 \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{216\sqrt{3}}{12} = 18\sqrt{3} \text{ м}^3$.

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ м}^3$.

2) Дано: $b = 12 \text{ см}$, $\phi = 60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$V = \frac{2}{3} \cdot 12^3 \cdot \sin^2{60^\circ} \cdot \cos{60^\circ} = \frac{2}{3} \cdot 1728 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot 1728 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$.

$V = \frac{2 \cdot 1728 \cdot 3}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{1728}{4} = 432 \text{ см}^3$.

Ответ: $432 \text{ см}^3$.

3) Дано: $b = \sqrt{2} \text{ дм}$, $\phi = 45^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$V = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot \sin^2{45^\circ} \cdot \cos{45^\circ} = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$V = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} = \frac{2}{3} \text{ дм}^3$.

Ответ: $\frac{2}{3} \text{ дм}^3$.