Номер 4.18, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Найдите объем правильной: 1) четырехугольной; 2) треугольной пирамиды, каждое ребро которой равно $\text{a}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1) четырехугольной

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, все ребра пирамиды равны $a$. Значит, сторона основания равна $a$, и боковые ребра тоже равны $a$.

Площадь основания (квадрата со стороной $a$) равна:

$S_{осн} = a^2$

Чтобы найти высоту пирамиды $H$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром (гипотенуза) и половиной диагонали основания (катет). Диагональ квадрата $d$ со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора:

$H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2$

$H^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2$

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

$H = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

2) треугольной

Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, является правильным тетраэдром. В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Высота $H$ правильной пирамиды проецируется в центр основания. Для равностороннего треугольника центр — это точка пересечения медиан, которая делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от вершины основания до его центра равно радиусу $R$ описанной окружности.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $a$ (гипотенуза) и радиусом $R$ (катет).

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = a^2$

$H^2 + \frac{3a^2}{9} = a^2$

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$