Номер 4.13, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. Найдите объем куба, диагональ которого равна d:

1) $d = 5\sqrt{3}$ мм;

2) $d = 2\sqrt{3}$ м;

3) $d = 12$ см.

Для нахождения объема куба $V$ необходимо знать длину его ребра $a$. Объем вычисляется по формуле $V = a^3$. Диагональ куба $d$ связана с его ребром $a$ соотношением, которое можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для куба с ребром $a$ квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$. Отсюда следует, что $d = a\sqrt{3}$.

Следовательно, ребро куба можно выразить через его диагональ: $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

1) Дано: диагональ куба $d = 5\sqrt{3}$ мм.

Сначала найдем длину ребра куба $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ мм.

Теперь вычислим объем куба $V$:

$V = a^3 = 5^3 = 125$ мм³.

Ответ: $125$ мм³.

2) Дано: диагональ куба $d = 2\sqrt{3}$ м.

Найдем длину ребра куба $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ м.

Теперь вычислим объем куба $V$:

$V = a^3 = 2^3 = 8$ м³.

Ответ: $8$ м³.

3) Дано: диагональ куба $d = 12$ см.

Найдем длину ребра куба $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим объем куба $V$:

$V = a^3 = (4\sqrt{3})^3 = 4^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 64 \cdot 3\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.