Номер 4.7, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.7. Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.

4.7. Пусть $a$ — длина ребра куба, а $d$ — его диагональ.

Связь между диагональю куба и его ребром выражается формулой, которая следует из двукратного применения теоремы Пифагора. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты), которые у куба равны:

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Отсюда, $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, диагональ куба $d = 12$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$:

$12 = a\sqrt{3}$

Выразим $a$:

$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для удобства вычислений избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда мы знаем длину ребра, мы можем найти объем куба ($V$) по формуле $V = a^3$.

$V = (4\sqrt{3})^3 = 4^3 \cdot (\sqrt{3})^3$

Вычисляем по частям:

$4^3 = 64$

$(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Перемножаем результаты:

$V = 64 \cdot 3\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.