Номер 4.10, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.10. Стороны основания параллелепипеда, высота которого равна $\text{h}$, равны $\text{a}$ и $\text{b}$, а острый угол между ними - $\phi$. Найдите объем параллелепипеда, если:

1) $h=7$ см, $a=4$ см, $b=8$ см, $\phi=30^\circ$;

2) $h=\sqrt{2}$ м, $a=5$ м, $b=10$ м, $\phi=45^\circ$;

3) $h=10$ мм, $a=7$ мм, $b=7\sqrt{3}$ мм, $\phi=60^\circ$.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется как произведение площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Формула объема: $V = S_{осн} \cdot h$.

В основании данного параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом $\varphi$ между ними. Площадь такого параллелограмма вычисляется по формуле: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\varphi$.

Следовательно, для нахождения объема параллелепипеда будем использовать общую формулу: $V = a \cdot b \cdot \sin\varphi \cdot h$.

1) Подставим в формулу заданные значения: $h = 7$ см, $a = 4$ см, $b = 8$ см, $\varphi = 30^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\varphi = 4 \cdot 8 \cdot \sin30^\circ$.

Так как $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, то $S_{осн} = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см².

Теперь вычислим объем: $V = S_{осн} \cdot h = 16 \cdot 7 = 112$ см³.

Ответ: $112$ см³.

2) Подставим в формулу заданные значения: $h = \sqrt{2}$ м, $a = 5$ м, $b = 10$ м, $\varphi = 45^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\varphi = 5 \cdot 10 \cdot \sin45^\circ$.

Так как $\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $S_{осн} = 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2}$ м².

Теперь вычислим объем: $V = S_{осн} \cdot h = 25\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 25 \cdot 2 = 50$ м³.

Ответ: $50$ м³.

3) Подставим в формулу заданные значения: $h = 10$ мм, $a = 7$ мм, $b = 7\sqrt{3}$ мм, $\varphi = 60^\circ$.

Сначала найдем площадь основания: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\varphi = 7 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sin60^\circ$.

Так как $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $S_{осн} = 49\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49 \cdot 3}{2} = \frac{147}{2} = 73,5$ мм².

Теперь вычислим объем: $V = S_{осн} \cdot h = \frac{147}{2} \cdot 10 = 147 \cdot 5 = 735$ мм³.

Ответ: $735$ мм³.