Номер 4.16, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) Объем пирамиды, вписанной в призму и имеющей общее с ней основание и высоту, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Основанием является треугольник со сторонами $a=15$ см, $b=14$ см, $c=13$ см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+14+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \sqrt{21(21-15)(21-14)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см$^2$.

Высота пирамиды совпадает с высотой призмы, $h=12$ см.

Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 84 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см} = 84 \cdot 4 \text{ см}^3 = 336 \text{ см}^3$.

Ответ: $336$ см$^3$.

2) Аналогично первому пункту, найдем объем пирамиды, используя те же формулы.

Стороны основания: $a=17$ дм, $b=65$ дм, $c=80$ дм. Высота $h=100$ дм.

Найдем полупериметр основания:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+65+80}{2} = \frac{162}{2} = 81$ дм.

Вычислим площадь основания по формуле Герона:

$S_{осн} = \sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)} = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{16} = 9 \cdot 8 \cdot 4 = 288$ дм$^2$.

Высота пирамиды $h=100$ дм.

Найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 288 \text{ дм}^2 \cdot 100 \text{ дм} = 96 \cdot 100 \text{ дм}^3 = 9600 \text{ дм}^3$.

Ответ: $9600$ дм$^3$.