Номер 4.9, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Если увеличить ребро куба на 1 см, то его объем увеличится на $91 \text{ см}^3$. Чему равно ребро куба?

4.9. Обозначим первоначальную длину ребра куба как $a$ см. Тогда его первоначальный объем $V_1$ вычисляется по формуле $V_1 = a^3$.

Если ребро куба увеличить на 1 см, то его новая длина станет $(a + 1)$ см. Объем увеличенного куба $V_2$ будет равен $(a + 1)^3$.

По условию задачи, разница между новым и старым объемом составляет 91 см³. Это можно записать в виде уравнения: $V_2 - V_1 = 91$

Подставим выражения для объемов в это уравнение: $(a + 1)^3 - a^3 = 91$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$: $(a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3) - a^3 = 91$

Упростим полученное выражение, сократив $a^3$ и $-a^3$: $3a^2 + 3a + 1 = 91$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3a^2 + 3a + 1 - 91 = 0$ $3a^2 + 3a - 90 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для его упрощения: $a^2 + a - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, нам нужно найти два числа, произведение которых равно -30, а сумма равна -1. Этими числами являются 5 и -6. Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 5$ $a_2 = -6$

Так как $a$ представляет собой длину ребра куба, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $a_2 = -6$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $a = 5$.

Таким образом, первоначальное ребро куба равно 5 см.

Проверка:

• Первоначальный объем: $V_1 = 5^3 = 125$ см³.
• Новое ребро: $5 + 1 = 6$ см.
• Новый объем: $V_2 = 6^3 = 216$ см³.
• Увеличение объема: $V_2 - V_1 = 216 - 125 = 91$ см³.

Ответ: 5 см.