Номер 4.11, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Предыдущую задачу решите для треугольной призмы, где $\text{h}$ – высота призмы, $\text{a}$ и $\text{b}$ – стороны основания (треугольника), а $\varphi$ – угол между ними.

Поскольку в условии говорится о "предыдущей задаче", будем полагать, что, как и в типовых задачах на эту тему, требуется найти центр масс тела. В данном случае телом является однородная прямая треугольная призма.

Для определения положения центра масс введем декартову систему координат. Расположим основание призмы в плоскости Oxy. Поместим одну из вершин треугольного основания в начало координат O(0, 0, 0). Сторону основания длиной a направим вдоль оси Ox. Тогда вторая вершина основания будет иметь координаты A(a, 0, 0). Третья вершина основания B, образующая со стороной OA сторону длиной b под углом φ, будет иметь в плоскости основания координаты (b cos φ, b sin φ). Таким образом, вершины основания призмы, лежащего в плоскости z = 0, имеют координаты: O(0, 0, 0), A(a, 0, 0) и B(b cos φ, b sin φ, 0). Высота призмы h отложена вдоль оси Oz, поэтому второе основание призмы лежит в плоскости z = h.

Для однородной прямой призмы её центр масс C(x_c, y_c, z_c) проецируется на плоскость основания в точку, совпадающую с центром масс (центроидом) этого основания, а аппликата (координата z_c) центра масс находится на середине высоты призмы.

Сначала найдем координаты центра масс (x_T, y_T) треугольного основания. Для треугольника с вершинами (x_1, y_1), (x_2, y_2) и (x_3, y_3) координаты его центра масс вычисляются как среднее арифметическое координат его вершин:

$x_T = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y_T = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Подставим координаты вершин нашего основания O(0, 0), A(a, 0) и B(b cos φ, b sin φ):

$x_c = x_T = \frac{0 + a + b \cos \phi}{3} = \frac{a + b \cos \phi}{3}$

$y_c = y_T = \frac{0 + 0 + b \sin \phi}{3} = \frac{b \sin \phi}{3}$

Теперь определим координату z_c. Так как призма прямая и однородная, её масса равномерно распределена по высоте от z = 0 до z = h. Поэтому координата z_c центра масс будет находиться ровно посередине этого отрезка:

$z_c = \frac{0 + h}{2} = \frac{h}{2}$

Таким образом, мы определили все три координаты центра масс призмы в выбранной системе координат.

Ответ: В системе координат, где одна из вершин основания призмы находится в начале координат, сторона a направлена вдоль оси Ox, а высота h — вдоль оси Oz, координаты центра масс призмы равны: $x_c = \frac{a + b \cos \phi}{3}$, $y_c = \frac{b \sin \phi}{3}$, $z_c = \frac{h}{2}$.