Вопросы, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое объем геометрического тела? Какими свойствами он обладает?

2. Как вычисляют объем тела с помощью определенного интеграла?

3. Запишите формулу объема параллелепипеда. Докажите ее.

4. Запишите формулы объемов прямоугольного параллелепипеда и призмы?

5. Запишите формулу объема пирамиды. Докажите ее.

6. Докажите формулу объема усеченной пирамиды.

7. Каков объем 1 л жидкости?

1. Что такое объем геометрического тела? Какими свойствами он обладает?

Объем геометрического тела — это положительная величина, характеризующая часть пространства, которую занимает тело. Иными словами, это количественная мера пространства, заключенного внутри замкнутой поверхности тела.

Основные свойства объема:

1. Неотрицательность. Объем любого геометрического тела является неотрицательным числом, то есть $ V \ge 0 $.

2. Нормированность (единица измерения). Объем куба с ребром, равным единице длины, принимается за единицу. Например, 1 кубический метр ($1 \text{ м}^3$).

3. Инвариантность. Равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы. Объем не изменяется при перемещении тела в пространстве как твердого целого.

4. Аддитивность. Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел: $ V = V_1 + V_2 + \dots + V_n $.

Ответ: Объем — это мера пространства, занимаемого телом, обладающая свойствами неотрицательности, инвариантности, аддитивности и имеющая единицу измерения (объем единичного куба).

2. Как вычисляют объем тела с помощью определенного интеграла?

Для вычисления объема тела используется метод сечений. Пусть тело расположено вдоль оси $ Ox $ и ограничено плоскостями $ x = a $ и $ x = b $. Предположим, что для любого $ x $ в промежутке $ [a, b] $ нам известна площадь $ S(x) $ сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси $ Ox $ и проходящей через точку $ x $. Если функция $ S(x) $ непрерывна на отрезке $ [a, b] $, то объем тела $ V $ можно вычислить как определенный интеграл от функции площади сечения:

$ V = \int_{a}^{b} S(x) \,dx $

Этот метод основан на суммировании объемов бесконечно тонких слоев, на которые мысленно разрезается тело. Объем каждого такого слоя приближенно равен $ dV = S(x) \,dx $.

Ответ: Объем тела вычисляется по формуле $ V = \int_{a}^{b} S(x) \,dx $, где $ S(x) $ — площадь поперечного сечения тела в точке $ x $, а $ [a, b] $ — отрезок, на который тело проецируется на ось $ Ox $.

3. Запишите формулу объема параллелепипеда. Докажите ее.

Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: $ V = S_{осн} \cdot H $.

Доказательство:

Рассмотрим параллелепипед, построенный на трех векторах $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $, выходящих из одной вершины. Пусть основанием служит параллелограмм, построенный на векторах $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Площадь этого основания равна модулю векторного произведения этих векторов: $ S_{осн} = |\vec{a} \times \vec{b}| $.

Высота $ H $ параллелепипеда — это длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ \vec{c} $ на плоскость основания. Она равна проекции вектора $ \vec{c} $ на направление нормали к основанию. Вектор нормали $ \vec{n} $ сонаправлен с вектором $ \vec{a} \times \vec{b} $. Следовательно, высота $ H $ равна модулю проекции вектора $ \vec{c} $ на вектор $ \vec{a} \times \vec{b} $:

$ H = |\text{пр}_{\vec{a} \times \vec{b}} \vec{c}| = \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} $.

Теперь найдем объем, перемножив площадь основания на высоту:

$ V = S_{осн} \cdot H = |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = |\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| $.

Выражение $ \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) $ является смешанным произведением векторов $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $, и его модуль как раз равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Таким образом, формула $ V = S_{осн} \cdot H $ доказана.

Ответ: $ V = S_{осн} \cdot H $.

4. Запишите формулы объемов прямоугольного параллелепипеда и призмы?

Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями (длиной, шириной и высотой) $ a, b, c $ вычисляется по формуле:

$ V = a \cdot b \cdot c $

Объем произвольной призмы (прямой или наклонной) равен произведению площади ее основания $ S_{осн} $ на высоту $ H $:

$ V = S_{осн} \cdot H $

Ответ: Объем прямоугольного параллелепипеда: $ V = a \cdot b \cdot c $. Объем призмы: $ V = S_{осн} \cdot H $.

5. Запишите формулу объема пирамиды. Докажите ее.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $.

Доказательство:

Расположим пирамиду так, чтобы ее вершина находилась в начале координат ($ x=0 $), а высота $ H $ лежала на оси $ Ox $. Тогда основание пирамиды будет лежать в плоскости $ x=H $.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной оси $ Ox $ и проходящей через точку с координатой $ x $ ($ 0 \le x \le H $). Это сечение является многоугольником, подобным основанию. Обозначим его площадь как $ S(x) $.

Из подобия следует, что отношение линейных размеров сечения к линейным размерам основания равно $ x/H $. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, поэтому:

$ \frac{S(x)}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{H}\right)^2 \implies S(x) = S_{осн} \cdot \frac{x^2}{H^2} $

Для нахождения объема проинтегрируем площадь сечения $ S(x) $ по $ x $ от 0 до $ H $:

$ V = \int_{0}^{H} S(x) \,dx = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} \,dx = \frac{S_{осн}}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 \,dx $

Вычисляем интеграл: $ \int_{0}^{H} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \frac{H^3}{3} - 0 = \frac{H^3}{3} $.

Подставляем результат обратно в формулу объема:

$ V = \frac{S_{осн}}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $.

Формула доказана.

Ответ: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $.

6. Докажите формулу объема усеченной пирамиды.

Формула объема усеченной пирамиды с высотой $ H $ и площадями оснований $ S_1 $ и $ S_2 $ имеет вид:

$ V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $

Доказательство:

Рассмотрим усеченную пирамиду как разность двух пирамид: большой (полной) с высотой $ H_{полн} $ и площадью основания $ S_1 $, и малой (отсеченной) с высотой $ h $ и площадью основания $ S_2 $. Высота усеченной пирамиды $ H = H_{полн} - h $.

Объем усеченной пирамиды равен: $ V = V_{полн} - V_{мал} = \frac{1}{3} S_1 H_{полн} - \frac{1}{3} S_2 h $.

Малая и большая пирамиды подобны. Коэффициент подобия $ k $ равен отношению их высот, а также отношению квадратных корней из площадей их оснований:

$ k = \frac{h}{H_{полн}} = \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}} $

Из этого соотношения выразим $ h $ и $ H_{полн} $ через $ H, S_1, S_2 $. Из $ H = H_{полн} - h $ и $ h = H_{полн} \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}} $ следует:

$ H = H_{полн} \left(1 - \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}\right) = H_{полн} \frac{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}} \implies H_{полн} = H \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} $

Аналогично, $ h = H \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} $.

Подставим эти выражения в формулу для объема $ V $:

$ V = \frac{1}{3} \left(S_1 \cdot H \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} - S_2 \cdot H \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}}\right) $

$ V = \frac{1}{3} H \frac{S_1\sqrt{S_1} - S_2\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} = \frac{1}{3} H \frac{(\sqrt{S_1})^3 - (\sqrt{S_2})^3}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} $

Применяя формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a = \sqrt{S_1} $ и $ b = \sqrt{S_2} $, получаем:

$ V = \frac{1}{3} H \frac{(\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2})(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)}{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}} $

Сократив $ (\sqrt{S_1} - \sqrt{S_2}) $, получаем искомую формулу.

Ответ: $ V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $. Доказательство приведено выше.

7. Каков объем 1 л жидкости?

1 литр (л) — это единица измерения объема, которая не входит в Международную систему единиц (СИ), но широко используется. По определению, 1 литр равен объему 1 кубического дециметра (дм³).

$ 1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 $

Так как 1 дм = 10 см, то объем в кубических сантиметрах будет:

$ 1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3 $

Так как 1 м = 10 дм, то 1 м³ = (10 дм)³ = 1000 дм³ = 1000 л. Отсюда следует, что 1 литр равен одной тысячной кубического метра:

$ 1 \text{ л} = 0.001 \text{ м}^3 $

Ответ: 1 литр равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ дм}^3$), или 1000 кубическим сантиметрам ($1000 \text{ см}^3$), или 0.001 кубического метра ($0.001 \text{ м}^3$).