Номер 3.120, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.120*. 1) На стороне $\text{AB}$ треугольника $ABC$, площадь которого равна 18, отмечены точки $\text{N}$ и $\text{M}$ так, что $AM:MN:NB=1:2:3$. Через точки $\text{M}$ и $\text{N}$ параллельно $\text{BC}$ проведены прямые. Найдите площадь фигуры, ограниченной этими прямыми.

2) Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ делят стороны $\text{BC}$, $\text{AC}$ и $\text{AB}$ треугольника соответственно $ABC$ в отношении: $BA_1:A_1C=3:7$, $AB_1:B_1C=1:3$, $AC_1:C_1B=1$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

1) Пусть $S_{ABC}$ - площадь треугольника $ABC$, по условию $S_{ABC} = 18$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $BC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $AC$ в точках $M_1$ и $N_1$ соответственно. Таким образом, $MM_1 \parallel BC$ и $NN_1 \parallel BC$. Фигура, ограниченная этими прямыми, а также отрезками $MN$ и $M_1N_1$ на сторонах $AB$ и $AC$, является трапецией $MNN_1M_1$. Площадь этой трапеции можно найти как разность площадей треугольников $ANN_1$ и $AMM_1$.

Поскольку $MM_1 \parallel BC$, треугольник $AMM_1$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AMM_1 \sim \triangle ABC$). Аналогично, так как $NN_1 \parallel BC$, треугольник $ANN_1$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ANN_1 \sim \triangle ABC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношения их соответствующих сторон). Найдем отношения сторон. По условию $AM:MN:NB=1:2:3$. Пусть $AM = x$, тогда $MN = 2x$ и $NB = 3x$. Длина всей стороны $AB$ равна $AM + MN + NB = x + 2x + 3x = 6x$. Длина отрезка $AN$ равна $AM + MN = x + 2x = 3x$.

Коэффициент подобия для $\triangle AMM_1$ и $\triangle ABC$ равен $k_1 = \frac{AM}{AB} = \frac{x}{6x} = \frac{1}{6}$. Следовательно, отношение их площадей: $\frac{S_{AMM_1}}{S_{ABC}} = k_1^2 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$. Отсюда, $S_{AMM_1} = \frac{1}{36} S_{ABC} = \frac{1}{36} \cdot 18 = \frac{1}{2} = 0.5$.

Коэффициент подобия для $\triangle ANN_1$ и $\triangle ABC$ равен $k_2 = \frac{AN}{AB} = \frac{3x}{6x} = \frac{1}{2}$. Следовательно, отношение их площадей: $\frac{S_{ANN_1}}{S_{ABC}} = k_2^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда, $S_{ANN_1} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 18 = \frac{9}{2} = 4.5$.

Площадь искомой фигуры (трапеции $MNN_1M_1$) равна разности площадей $\triangle ANN_1$ и $\triangle AMM_1$: $S_{MNN_1M_1} = S_{ANN_1} - S_{AMM_1} = 4.5 - 0.5 = 4$.

Ответ: 4.

2) Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$. Чтобы найти площадь треугольника $A_1B_1C_1$, вычтем из площади $S$ площади трех "угловых" треугольников: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle C_1BA_1$ и $\triangle B_1A_1C$. $S_{A_1B_1C_1} = S - S_{AC_1B_1} - S_{C_1BA_1} - S_{B_1A_1C}$.

Для вычисления площадей угловых треугольников воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Из условий задачи найдем отношения, в которых точки $A_1, B_1, C_1$ делят стороны треугольника $ABC$:

- Точка $A_1$ на стороне $BC$: $BA_1:A_1C=3:7 \implies BA_1 = \frac{3}{3+7}BC = \frac{3}{10}BC$, $A_1C = \frac{7}{10}BC$. - Точка $B_1$ на стороне $AC$: $AB_1:B_1C=1:3 \implies AB_1 = \frac{1}{1+3}AC = \frac{1}{4}AC$, $B_1C = \frac{3}{4}AC$. - Точка $C_1$ на стороне $AB$: $AC_1:C_1B=1 \implies AC_1 = \frac{1}{1+1}AB = \frac{1}{2}AB$, $C_1B = \frac{1}{2}AB$.

Теперь вычислим площади угловых треугольников в долях от площади $S$:

- $S_{AC_1B_1} = \frac{1}{2} AC_1 \cdot AB_1 \sin A = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) (\frac{1}{4}AC) \sin A = \frac{1}{8} (\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin A) = \frac{1}{8}S$. - $S_{C_1BA_1} = \frac{1}{2} C_1B \cdot BA_1 \sin B = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) (\frac{3}{10}BC) \sin B = \frac{3}{20} (\frac{1}{2}AB \cdot BC \sin B) = \frac{3}{20}S$. - $S_{B_1A_1C} = \frac{1}{2} B_1C \cdot A_1C \sin C = \frac{1}{2} (\frac{3}{4}AC) (\frac{7}{10}BC) \sin C = \frac{21}{40} (\frac{1}{2}AC \cdot BC \sin C) = \frac{21}{40}S$.

Сумма площадей угловых треугольников: $S_{угл.} = S_{AC_1B_1} + S_{C_1BA_1} + S_{B_1A_1C} = (\frac{1}{8} + \frac{3}{20} + \frac{21}{40})S$. Приведем дроби к общему знаменателю 40: $S_{угл.} = (\frac{5}{40} + \frac{6}{40} + \frac{21}{40})S = \frac{5+6+21}{40}S = \frac{32}{40}S = \frac{4}{5}S$.

Площадь внутреннего треугольника $A_1B_1C_1$: $S_{A_1B_1C_1} = S - S_{угл.} = S - \frac{4}{5}S = \frac{1}{5}S$.

Требуется найти отношение площадей треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{S}{\frac{1}{5}S} = 5$.

Ответ: 5.