Номер 3.119, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.119. Найдите центр и радиус сферы, проходящей через точки $A(2; 0; 1)$, $B(2; 0; 3)$, $C(1; 4; 0)$ и $D(1; 2; 2)$.

Пусть центр сферы — точка $O(x_0; y_0; z_0)$, а радиус — $R$. Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Поскольку точки $A(2; 0; 1)$, $B(2; 0; 3)$, $C(1; 4; 0)$ и $D(1; 2; 2)$ лежат на сфере, они все находятся на одинаковом расстоянии $R$ от центра $O$. Это означает, что $OA = OB = OC = OD = R$, и, следовательно, квадраты этих расстояний также равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = OD^2 = R^2$.

Используем это свойство для нахождения координат центра сферы. Составим систему уравнений на основе равенства квадратов расстояний:

$OA^2 = (2 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (1 - z_0)^2$

$OB^2 = (2 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 + (3 - z_0)^2$

$OC^2 = (1 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2$

$OD^2 = (1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2 + (2 - z_0)^2$

1. Нахождение $z_0$

Приравняем выражения для $OA^2$ и $OB^2$:

$(2 - x_0)^2 + y_0^2 + (1 - z_0)^2 = (2 - x_0)^2 + y_0^2 + (3 - z_0)^2$

Упростив, получаем:

$(1 - z_0)^2 = (3 - z_0)^2$

$1 - 2z_0 + z_0^2 = 9 - 6z_0 + z_0^2$

$4z_0 = 8$

$z_0 = 2$

2. Нахождение $y_0$

Теперь приравняем выражения для $OC^2$ и $OD^2$:

$(1 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + z_0^2 = (1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2 + (2 - z_0)^2$

Упростив, получаем:

$(4 - y_0)^2 + z_0^2 = (2 - y_0)^2 + (2 - z_0)^2$

Подставим найденное значение $z_0 = 2$:

$(4 - y_0)^2 + 2^2 = (2 - y_0)^2 + (2 - 2)^2$

$16 - 8y_0 + y_0^2 + 4 = 4 - 4y_0 + y_0^2$

$20 - 8y_0 = 4 - 4y_0$

$16 = 4y_0$

$y_0 = 4$

3. Нахождение $x_0$

Для нахождения $x_0$ используем равенство $OA^2 = OC^2$:

$(2 - x_0)^2 + y_0^2 + (1 - z_0)^2 = (1 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + z_0^2$

Подставим известные значения $y_0 = 4$ и $z_0 = 2$:

$(2 - x_0)^2 + 4^2 + (1 - 2)^2 = (1 - x_0)^2 + (4 - 4)^2 + 2^2$

$(2 - x_0)^2 + 16 + (-1)^2 = (1 - x_0)^2 + 0^2 + 4$

$4 - 4x_0 + x_0^2 + 17 = 1 - 2x_0 + x_0^2 + 4$

$21 - 4x_0 = 5 - 2x_0$

$16 = 2x_0$

$x_0 = 8$

Таким образом, мы нашли координаты центра сферы: $O(8; 4; 2)$.

4. Нахождение радиуса $R$

Теперь вычислим квадрат радиуса $R^2$, используя координаты центра $O$ и любой из четырех точек, например, точки $A(2; 0; 1)$:

$R^2 = OA^2 = (2 - 8)^2 + (0 - 4)^2 + (1 - 2)^2$

$R^2 = (-6)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = 36 + 16 + 1 = 53$

Следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{53}$.

Ответ: центр сферы находится в точке с координатами $(8; 4; 2)$, а радиус сферы равен $\sqrt{53}$.