Номер 3.118, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.118. Цилиндр, осевое сечение которого есть квадрат, вписан в сферу. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — его высота, а $R$ — радиус сферы.

По условию задачи, осевое сечение цилиндра является квадратом. Осевое сечение представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. Следовательно, для квадрата имеем $h = 2r$.

Цилиндр вписан в сферу. Это означает, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Рассмотрим осевое сечение всей системы. Это будет квадрат (осевое сечение цилиндра), вписанный в большой круг сферы (сечение сферы).

Диагональ этого квадрата является диаметром сферы $2R$. Стороны квадрата равны $h$ и $2r$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами ($h$ и $2r$) и диагональю ($2R$) квадрата, получаем: $(2r)^2 + h^2 = (2R)^2$.

Подставим в это уравнение соотношение $h = 2r$:

$(2r)^2 + (2r)^2 = (2R)^2$

$4r^2 + 4r^2 = 4R^2$

$8r^2 = 4R^2$

$R^2 = 2r^2$.

Теперь найдем площади поверхностей.

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ вычисляется по формуле: $S_{сферы} = 4\pi R^2$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$.

Подставим $h = 2r$ в формулу для площади поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2\pi r(2r) + 2\pi r^2 = 4\pi r^2 + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$.

Теперь найдем искомое отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. Для этого выразим обе площади через одну переменную, например $r$. Площадь сферы: $S_{сферы} = 4\pi R^2 = 4\pi (2r^2) = 8\pi r^2$. Площадь цилиндра: $S_{цил} = 6\pi r^2$.

Искомое отношение равно: $\frac{S_{сферы}}{S_{цил}} = \frac{8\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.