Номер 4.25, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. Площадь диагонального сечения куба равна $25\sqrt{2} \text{ см}^2$. Докажите, что объем куба равен $125 \text{ см}^3$.

4.25. Пусть ребро куба равно a. Диагональное сечение куба — это прямоугольник, одна сторона которого равна ребру куба a, а вторая — диагонали грани куба d.

Грань куба является квадратом со стороной a. По теореме Пифагора найдем диагональ грани d: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения S равна произведению его сторон: $S = a \cdot d = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь этого сечения равна $25\sqrt{2}$ см². Составим уравнение, приравняв выражение для площади к данному значению: $a^2\sqrt{2} = 25\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $a^2 = 25$.

Поскольку a — это длина ребра, она является положительной величиной. Следовательно, $a = \sqrt{25} = 5$ см.

Объем куба V вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение длины ребра: $V = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ см³.

Таким образом, мы доказали, что объем куба равен 125 см³. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.