Номер 4.31, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. Объем правильной треугольной призмы равен $27\sqrt{3}$ см$^3$. Радиус окружности, описанной около ее основания равен 2 см. Найдите высоту призмы.

Объем правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Чтобы найти высоту $H$, нужно разделить объем на площадь основания: $H = \frac{V}{S_{осн}}$.

Основанием правильной треугольной призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Найдем его площадь, используя радиус описанной окружности $R = 2$ см.

Сторона равностороннего треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Выразим сторону $a$ из этой формулы и подставим известное значение радиуса:

$a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$ по формуле площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ см².

Наконец, найдем высоту призмы $H$, используя известные значения объема $V = 27\sqrt{3}$ см³ и площади основания $S_{осн} = 3\sqrt{3}$ см².

$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{27\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 9$ см.

Ответ: 9 см.