Номер 4.34, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания. Площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и имеющего с ним общую вершину высоты основания, равна $75 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. В основании лежит правильный треугольник $ABC$.

Обозначим сторону основания за $a$, высоту основания за $h_b$, а боковое ребро (и высоту призмы) за $L$.

По условию задачи, боковое ребро равно высоте основания: $L = h_b$.

Рассмотрим сечение, о котором говорится в задаче. Оно проходит через боковое ребро (например, $AA_1$) и имеет с ним общую вершину высоты основания. Высота основания, проведенная из вершины $A$, это, например, медиана $AM$. Вершина $A$ является общей для бокового ребра $AA_1$ и высоты основания $AM$. Таким образом, сечение проходит через точки $A$, $A_1$ и $M$. Это сечение представляет собой прямоугольник $AA_1M_1M$, где $M$ и $M_1$ — середины ребер $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. Стороны этого прямоугольника — боковое ребро $AA_1$ длиной $L$ и высота основания $AM$ длиной $h_b$.

Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:

$S_{сеч} = L \cdot h_b$

Так как по условию $L = h_b$, то формула для площади сечения принимает вид:

$S_{сеч} = h_b \cdot h_b = h_b^2$

Из условия известно, что $S_{сеч} = 75$ см². Следовательно:

$h_b^2 = 75$

$h_b = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Так как $L = h_b$, то высота призмы $L = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем параметры основания. Основание — это правильный треугольник. Высота $h_b$ и сторона $a$ такого треугольника связаны соотношением:

$h_b = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим найденное значение $h_b$:

$5\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$5 = \frac{a}{2}$

Отсюда находим сторону основания: $a = 10$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ призмы (площадь правильного треугольника) можно вычислить по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ см².

Объем призмы $V$ вычисляется как произведение площади основания на высоту призмы:

$V = S_{осн} \cdot L$

$V = 25\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 125 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 125 \cdot 3 = 375$ см³.

Ответ: $375$ см³.