Номер 4.38, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.38. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная $\text{d}$, составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Найдите объем параллелепипеда, если меньшая сторона основания равна $\text{a}$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $h$, где $a$ и $b$ – стороны основания, а $h$ – высота. По условию, $a$ является меньшей стороной основания. Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot h$

Диагональ параллелепипеда $d$, его высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда $d$ и плоскостью основания – это угол между самой диагональю $d$ и ее проекцией на эту плоскость, то есть диагональю основания $d_{осн}$. Этот угол по условию равен $\phi$.

Из этого прямоугольного треугольника, используя тригонометрические соотношения, мы можем выразить высоту $h$ и диагональ основания $d_{осн}$:

$h = d \cdot \sin\phi$

$d_{осн} = d \cdot \cos\phi$

Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ этого прямоугольника $d_{осн}$ связана со сторонами по теореме Пифагора:

$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$

Подставим в это уравнение выражение для $d_{осн}$:

$(d \cdot \cos\phi)^2 = a^2 + b^2$

$d^2 \cos^2\phi = a^2 + b^2$

Выразим из этого уравнения неизвестную сторону $b$:

$b^2 = d^2 \cos^2\phi - a^2$

$b = \sqrt{d^2 \cos^2\phi - a^2}$

Теперь у нас есть все необходимые величины для нахождения объема. Подставим выражения для $b$ и $h$ в формулу объема:

$V = a \cdot (\sqrt{d^2 \cos^2\phi - a^2}) \cdot (d \sin\phi)$

Запишем выражение в более удобном виде:

$V = ad \sin\phi \sqrt{d^2 \cos^2\phi - a^2}$

Ответ: $V = ad \sin\phi \sqrt{d^2 \cos^2\phi - a^2}$