Номер 4.39, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Объем прямой призмы, основанием которой является квадрат площадью $\text{S}$, равен $\text{V}$. Найдите площадь ее боковой поверхности.

Пусть $a$ — сторона квадрата, лежащего в основании прямой призмы, и $h$ — её высота.

По условию, площадь основания призмы равна $S$. Так как основанием является квадрат, то его площадь выражается формулой $S = a^2$. Отсюда можно выразить сторону квадрата $a$ через его площадь $S$: $a = \sqrt{S}$.

Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. В нашем случае $S_{осн} = S$, поэтому: $V = S \cdot h$. Из этой формулы выразим высоту призмы $h$: $h = \frac{V}{S}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы, обозначим её $S_{бок}$, находится как произведение периметра основания $P$ на высоту призмы $h$: $S_{бок} = P \cdot h$.

Периметр основания, которое является квадратом со стороной $a$, равен: $P = 4a$. Подставим ранее найденное выражение для $a$: $P = 4\sqrt{S}$.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, подставив выражения для периметра $P$ и высоты $h$ в формулу $S_{бок} = P \cdot h$: $S_{бок} = (4\sqrt{S}) \cdot \left(\frac{V}{S}\right)$.

Упростим полученное выражение: $S_{бок} = \frac{4V\sqrt{S}}{S}$. Поскольку $S = (\sqrt{S})^2$, мы можем сократить дробь: $S_{бок} = \frac{4V\sqrt{S}}{\sqrt{S} \cdot \sqrt{S}} = \frac{4V}{\sqrt{S}}$.

Ответ: $\frac{4V}{\sqrt{S}}$