Номер 4.46, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.46. В правильной четырехугольной пирамиде: 1) высота равна $\text{h}$, а двугранный угол при основании равен $\phi$; 2) сторона основания равна $\text{a}$, а плоский угол при вершине равен $\phi$. Найдите объем пирамиды.

1) Пусть сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $a$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию, высота пирамиды $H = h$. Основанием является квадрат, поэтому его площадь $S_{осн} = a^2$. Для нахождения объема необходимо выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO = h$, апофемой (высотой боковой грани) $SM$ и отрезком $OM$, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина отрезка $OM$ равна половине стороны основания, то есть $OM = \frac{a}{2}$.

Двугранный угол при основании $\phi$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Этим углом является угол $\angle SMO = \phi$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ ($ \angle SOM = 90^{\circ} $) имеем: $ \text{ctg}(\phi) = \frac{OM}{SO} $

Подставим известные значения: $ \text{ctg}(\phi) = \frac{a/2}{h} $

Отсюда выразим сторону основания $a$: $ a = 2h \cdot \text{ctg}(\phi) $

Теперь найдем площадь основания: $ S_{осн} = a^2 = (2h \cdot \text{ctg}(\phi))^2 = 4h^2 \text{ctg}^2(\phi) $

Наконец, вычислим объем пирамиды: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (4h^2 \text{ctg}^2(\phi)) \cdot h = \frac{4}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi) $

Ответ: $V = \frac{4}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi)$.

2) По условию, сторона основания $a$ известна. Площадь основания $S_{осн} = a^2$. Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} a^2 H$. Для нахождения объема необходимо найти высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Это равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\phi$. Проведем в этой грани апофему (высоту) $SM$. Она разделит боковую грань на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников угол при вершине пирамиды будет равен $\frac{\phi}{2}$, а противолежащий катет — $\frac{a}{2}$.

Длину апофемы $SM$ можно найти из этого прямоугольного треугольника: $ \text{tg}(\frac{\phi}{2}) = \frac{a/2}{SM} \Rightarrow SM = \frac{a}{2 \text{tg}(\frac{\phi}{2})} = \frac{a}{2} \text{ctg}(\frac{\phi}{2}) $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO = H$, апофемой $SM$ и отрезком $OM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $ SM^2 = SO^2 + OM^2 $

Отсюда выразим высоту $H = SO$: $ H^2 = SM^2 - OM^2 = \left(\frac{a}{2} \text{ctg}(\frac{\phi}{2})\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 $ $ H^2 = \frac{a^2}{4} (\text{ctg}^2(\frac{\phi}{2}) - 1) $

Используем тригонометрическую формулу $\text{ctg}^2 x - 1 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - 1 = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos(2x)}{\sin^2 x}$. Применив ее для $x = \frac{\phi}{2}$, получим: $ H^2 = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{\cos(\phi)}{\sin^2(\frac{\phi}{2})} $

Следовательно, высота равна: $ H = \sqrt{\frac{a^2 \cos(\phi)}{4 \sin^2(\frac{\phi}{2})}} = \frac{a \sqrt{\cos(\phi)}}{2 \sin(\frac{\phi}{2})} $ (Угол $\phi$ должен быть острым, чтобы высота была действительным числом).

Теперь найдем объем пирамиды: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a \sqrt{\cos(\phi)}}{2 \sin(\frac{\phi}{2})} = \frac{a^3 \sqrt{\cos(\phi)}}{6 \sin(\frac{\phi}{2})} $

Ответ: $V = \frac{a^3 \sqrt{\cos(\phi)}}{6 \sin(\frac{\phi}{2})}$.