Номер 4.47, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Основанием высоты треугольной пирамиды является центр окружности, описанной около ее основания, а основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см, 6 см. Найдите объем пирамиды, если ее боковые ребра равны 13 см (рис. 4.16).

Рис. 4.16

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см и $b=8$ см. Площадь основания равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Согласно условию, основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около ее основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — это середина гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Поскольку основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной окружности, все боковые ребра равны. Они образуют прямоугольные треугольники с высотой пирамиды $H$ и радиусом $R$. Боковое ребро $l=13$ см является гипотенузой в таком треугольнике. Найдем высоту пирамиды $H$ по теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

$H^2 = l^2 - R^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.