Номер 4.54, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Объем правильной шестиугольной призмы равен $6 \text{ см}^3$. Площадь сечения, проходящего через наибольшую диагональ, равна $4 \text{ см}^2$. Найдите длину стороны основания и бокового ребра.

Пусть $a$ — длина стороны основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — длина ее бокового ребра (которое также является высотой призмы).

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Следовательно, площадь основания призмы: $S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставим выражение для площади основания в формулу объема: $V = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h$. По условию задачи, объем призмы равен $6 \text{ см}^3$, что дает нам первое уравнение: $\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h = 6$.

Сечение, проходящее через наибольшую диагональ, является диагональным сечением призмы. Это прямоугольник, сторонами которого являются наибольшая диагональ основания $d$ и боковое ребро (высота) призмы $h$. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ соединяет две противолежащие вершины и ее длина равна $d = 2a$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = d \cdot h = 2a \cdot h$.

По условию, площадь сечения равна $4 \text{ см}^2$, что дает нам второе уравнение: $2ah = 4$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h$: $$ \begin{cases} \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot h = 6 \\ 2ah = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $h$ через $a$: $h = \frac{4}{2a} = \frac{2}{a}$.

Подставим это выражение для $h$ в первое уравнение системы: $\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{2}{a}\right) = 6$.

Упростим полученное уравнение и решим его относительно $a$: $\frac{3a^2 \sqrt{3} \cdot 2}{2a} = 6$ $3a\sqrt{3} = 6$ $a = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная сторону основания $a$, найдем длину бокового ребра $h$, используя выражение $h = \frac{2}{a}$: $h = \frac{2}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: длина стороны основания равна $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см, а длина бокового ребра равна $\sqrt{3}$ см.