Номер 4.56, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56*. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $\alpha$. Диагональ грани, расположенной напротив данного угла, равна $\text{l}$ и образует с плоскостью основания угол, равный $\beta$. Покажите, что объем призмы равен

$\frac{1}{8} l^3 \sin(2\beta) \cos(\beta) \text{ctg} \left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ – данная прямая призма. Основание призмы – равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AB=BC$), а угол при вершине $B$ равен $\alpha$, то есть $\angle ABC = \alpha$.

Боковая грань, расположенная напротив угла $\alpha$, это прямоугольник $ACC_1A_1$. Диагональ этой грани, например $A_1C$, по условию имеет длину $l$. Эта диагональ образует с плоскостью основания $ABC$ угол, равный $\beta$. Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, сторона основания $AC$ является ортогональной проекцией диагонали $A_1C$ на плоскость основания. Угол между наклонной и ее проекцией и есть угол между наклонной и плоскостью, поэтому $\angle A_1CA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$, в котором $\angle A_1AC = 90^\circ$. Из этого треугольника мы можем выразить высоту призмы $H$ и сторону основания $AC$:

Высота призмы $H$ равна длине катета $A_1A$: $H = A_1A = A_1C \cdot \sin(\angle A_1CA) = l \sin\beta$.

Сторона основания $AC$ равна длине катета $AC$: $AC = A_1C \cdot \cos(\angle A_1CA) = l \cos\beta$.

Теперь найдем площадь основания призмы $S_{осн}$, то есть площадь равнобедренного треугольника $ABC$. В треугольнике $ABC$ нам известны основание $AC = l \cos\beta$ и угол при противолежащей вершине $\angle ABC = \alpha$. Проведем высоту $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, $M$ – середина $AC$, так что $MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} l \cos\beta$.

Также $BM$ делит угол $\alpha$ пополам, так что $\angle CBM = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $BMC$ найдем высоту $BM$: $\operatorname{ctg}(\angle CBM) = \frac{BM}{MC}$, откуда $BM = MC \cdot \operatorname{ctg}(\angle CBM) = \frac{1}{2} l \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

Площадь основания призмы равна: $S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot (l \cos\beta) \cdot \left(\frac{1}{2} l \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные выражения для площади основания и высоты: $V = \left(\frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\right) \cdot (l \sin\beta) = \frac{1}{4} l^3 \sin\beta \cos^2\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

Для приведения полученного выражения к виду, указанному в условии задачи, воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2 \sin\beta \cos\beta$: $V = \frac{1}{4} l^3 (\sin\beta \cos\beta) \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{8} l^3 (2 \sin\beta \cos\beta) \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{8} l^3 \sin(2\beta) \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Доказано, что объем призмы равен $\frac{1}{8}l^3\sin2\beta \cos\beta \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.