Номер 4.62, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.62. Основанием пирамиды является квадрат, а площади всех ее пяти граней равны между собой. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна $\text{h}$.

Пусть сторона основания пирамиды (квадрата) равна $a$, а высота боковой грани (апофема) равна $l$. Высота самой пирамиды по условию равна $h$. У пирамиды всего 5 граней: основание и 4 боковые грани.

Площадь основания пирамиды, которое является квадратом со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2$

Боковые грани представляют собой равные треугольники с основанием $a$ и высотой $l$. Площадь одной боковой грани равна:

$S_{бок} = \frac{1}{2} a \cdot l$

Согласно условию задачи, площади всех пяти граней равны между собой. Следовательно, площадь основания равна площади боковой грани:

$S_{осн} = S_{бок}$

$a^2 = \frac{1}{2} a \cdot l$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$a = \frac{1}{2} l$, что эквивалентно $l = 2a$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник внутри пирамиды. Его катетами являются высота пирамиды $h$ и отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой его стороны (длина этого отрезка равна $\frac{a}{2}$). Гипотенузой этого треугольника является апофема $l$. По теореме Пифагора имеем:

$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим в это уравнение ранее найденное соотношение $l = 2a$:

$(2a)^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

$4a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$

Теперь выразим $a^2$ через $h$. Для этого перенесем все члены с $a^2$ в левую часть:

$4a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2$

$\frac{16a^2 - a^2}{4} = h^2$

$\frac{15a^2}{4} = h^2$

Отсюда находим площадь основания $S_{осн} = a^2$:

$a^2 = \frac{4h^2}{15}$

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Подставляем найденное выражение для площади основания $S_{осн}$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4h^2}{15}\right) \cdot h$

$V = \frac{4h^3}{45}$

Ответ: $\frac{4h^3}{45}$.