Вопросы, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу объема цилиндра.

2. Напишите формулу объема конуса и докажите ее. Напишите формулу объема усеченного конуса.

3. Напишите формулу объема шара и докажите ее.

4. Напишите формулу объема шарового сегмента (сектора). Докажите ее.

1. Напишите формулу объема цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания на высоту.

Пусть $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота. Площадь основания (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$.

Тогда формула для объема цилиндра имеет вид:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$

Ответ: $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, $H$ – высота цилиндра.

2. Напишите формулу объема конуса и докажите ее. Напишите формулу объема усеченного конуса.

Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, $H$ – высота конуса.

Доказательство формулы объема конуса:

Объем конуса можно найти с помощью интегрального исчисления. Конус является телом вращения, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Расположим конус в системе координат так, чтобы его вершина находилась в начале координат (0,0), а высота $H$ лежала на оси $Ox$. Радиус основания конуса равен $R$.

Образующая конуса является частью прямой, проходящей через начало координат и точку $(H, R)$. Уравнение этой прямой: $y = \frac{R}{H}x$.

Объем тела, полученного вращением кривой $y=f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$.

В нашем случае $f(x) = \frac{R}{H}x$, а интегрирование производится от $0$ до $H$:

$V = \int_0^H \pi \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_0^H x^2 dx$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^H = \pi \frac{R^2}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \frac{R^2}{H^2} \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Формула доказана.

Формула объема усеченного конуса:

Объем усеченного конуса с радиусами оснований $R$ и $r$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Ответ: Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Доказательство приведено выше. Формула объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

3. Напишите формулу объема шара и докажите ее.

Формула объема шара: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Доказательство формулы объема шара:

Шар можно рассматривать как тело, образованное вращением полукруга вокруг его диаметра.

Поместим центр шара в начало декартовой системы координат. Тогда уравнение окружности, ограничивающей шар, будет $x^2 + y^2 = R^2$. Уравнение верхней полуокружности: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Объем шара найдем, вычислив объем тела вращения, полученного при вращении кривой $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ вокруг оси $Ox$ на промежутке от $-R$ до $R$.

$V = \int_{-R}^R \pi y^2 dx = \int_{-R}^R \pi (\sqrt{R^2 - x^2})^2 dx = \int_{-R}^R \pi (R^2 - x^2) dx$.

Вычислим полученный интеграл:

$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^R = \pi \left( \left(R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}\right) - \left(R^2 \cdot (-R) - \frac{(-R)^3}{3}\right) \right)$.

$V = \pi \left( \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right) = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left(-\frac{2R^3}{3}\right) \right) = \pi \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right) = \pi \frac{4R^3}{3}$.

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Формула доказана.

Ответ: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара. Доказательство приведено выше.

4. Напишите формулу объема шарового сегмента (сектора). Докажите ее.

В задаче, вероятно, имеется в виду шаровой сегмент (также известный как шаровая шапка). Шаровой сектор - другое тело, хотя его объем также можно найти. Приведем формулу и доказательство для шарового сегмента.

Формула объема шарового сегмента: $V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$, где $h$ – высота сегмента, а $R$ – радиус шара.

Доказательство формулы объема шарового сегмента:

Шаровой сегмент — это часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Объем такого сегмента можно найти как объем тела вращения.

Расположим шар радиуса $R$ с центром в начале координат. Шаровой сегмент высотой $h$ образуется при отсечении части шара плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей на расстоянии $R-h$ от центра. Таким образом, сегмент занимает область по оси $x$ от $R-h$ до $R$.

Объем сегмента найдем, вращая дугу окружности $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ вокруг оси $Ox$ в пределах от $x=R-h$ до $x=R$.

$V = \int_{R-h}^R \pi (R^2 - x^2) dx$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{R-h}^R = \pi \left( \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(R^2(R-h) - \frac{(R-h)^3}{3}\right) \right)$.

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2h + \frac{(R-h)^3}{3} \right)$.

Раскроем куб разности: $(R-h)^3 = R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3$.

$V = \frac{\pi}{3} \left( 2R^3 - 3R^3 + 3R^2h + (R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3) \right)$.

Сгруппируем и сократим подобные члены в числителе:

$V = \frac{\pi}{3} \left( (2R^3 - 3R^3 + R^3) + (3R^2h - 3R^2h) + 3Rh^2 - h^3 \right)$.

$V = \frac{\pi}{3} \left( 0 + 0 + 3Rh^2 - h^3 \right) = \frac{\pi}{3} (3Rh^2 - h^3)$.

Вынесем $h^2$ за скобки:

$V = \pi h^2 \frac{3R-h}{3} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$.

Формула доказана.

Ответ: Формула объема шарового сегмента: $V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$, где $h$ - высота сегмента, $R$ - радиус шара. Доказательство приведено выше.