Номер 4.71, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.71. Решите предыдущую задачу относительно конуса радиусом $\text{R}$ и высотой $\text{h}$.

Поскольку условие предыдущей задачи неизвестно, мы решим стандартный набор задач для твердого однородного тела, каковым является конус: найдем его центр масс и моменты инерции относительно различных осей. Будем считать, что конус имеет радиус основания $R$, высоту $h$, и изготовлен из однородного материала с плотностью $\rho$.

Полная масса конуса $M$ связана с его объемом $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ через плотность: $M = \rho V = \frac{1}{3}\rho \pi R^2 h$.

1. Центр масс конуса

Для нахождения центра масс разместим конус в системе координат так, чтобы его основание лежало в плоскости $xy$ с центром в начале координат, а вершина находилась на оси $z$ в точке $(0, 0, h)$. В силу симметрии, центр масс будет лежать на оси $z$. Нам нужно найти только его координату $z_{CM}$.

Координата центра масс вычисляется по формуле: $z_{CM} = \frac{1}{M} \int z \, dM$.

Разобьем конус на бесконечно тонкие диски толщиной $dz$, расположенные на высоте $z$ от основания. Радиус такого диска $r(z)$ можно найти из подобия треугольников: $\frac{r(z)}{R} = \frac{h-z}{h}$, откуда $r(z) = R(1 - \frac{z}{h})$.

Масса элементарного диска $dM$ равна: $dM = \rho \cdot dV = \rho \cdot \pi [r(z)]^2 dz = \rho \pi R^2 (1 - \frac{z}{h})^2 dz$.

Теперь вычислим интеграл в числителе формулы для $z_{CM}$:

$\int z \, dM = \int_0^h z \left( \rho \pi R^2 (1 - \frac{z}{h})^2 \right) dz = \rho \pi R^2 \int_0^h z(1 - \frac{2z}{h} + \frac{z^2}{h^2}) dz$

$\qquad = \rho \pi R^2 \int_0^h (z - \frac{2z^2}{h} + \frac{z^3}{h^2}) dz = \rho \pi R^2 \left[ \frac{z^2}{2} - \frac{2z^3}{3h} + \frac{z^4}{4h^2} \right]_0^h$

$\qquad = \rho \pi R^2 \left( \frac{h^2}{2} - \frac{2h^2}{3} + \frac{h^2}{4} \right) = \rho \pi R^2 h^2 \left( \frac{6-8+3}{12} \right) = \frac{1}{12}\rho \pi R^2 h^2$.

Подставляем найденное значение и массу $M$ в формулу для $z_{CM}$:

$z_{CM} = \frac{\frac{1}{12}\rho \pi R^2 h^2}{\frac{1}{3}\rho \pi R^2 h} = \frac{1/12}{1/3}h = \frac{3}{12}h = \frac{1}{4}h$.

Центр масс конуса находится на его оси симметрии на высоте $h/4$ от основания.

Ответ: Центр масс находится на оси конуса на расстоянии $\frac{h}{4}$ от основания.

2. Момент инерции конуса относительно оси симметрии

Момент инерции $I_z$ относительно оси симметрии (оси $z$) найдем, суммируя моменты инерции элементарных дисков. Момент инерции одного диска массой $dM$ и радиусом $r(z)$ относительно его центральной оси равен $dI_z = \frac{1}{2} dM [r(z)]^2$.

$dI_z = \frac{1}{2} (\rho \pi [r(z)]^2 dz) [r(z)]^2 = \frac{1}{2}\rho\pi [r(z)]^4 dz = \frac{1}{2}\rho\pi R^4 (1-\frac{z}{h})^4 dz$.

Интегрируем по всей высоте конуса:

$I_z = \int_0^h \frac{1}{2}\rho\pi R^4 (1-\frac{z}{h})^4 dz$. Сделаем замену $u = 1-z/h$, $du = -dz/h$.

$I_z = \frac{1}{2}\rho\pi R^4 \int_1^0 u^4 (-h du) = \frac{1}{2}\rho\pi R^4 h \int_0^1 u^4 du = \frac{1}{2}\rho\pi R^4 h \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{10}\rho\pi R^4 h$.

Выразим результат через массу $M = \frac{1}{3}\rho\pi R^2 h$:

$I_z = \frac{1}{10}\rho\pi R^4 h = \frac{3}{10} \left(\frac{1}{3}\rho\pi R^2 h\right) R^2 = \frac{3}{10} M R^2$.

Ответ: $I_z = \frac{3}{10} M R^2$.

3. Момент инерции конуса относительно поперечной оси, проходящей через вершину

Для этого расчета удобнее разместить вершину конуса в начале координат $(0,0,0)$, а основание — в плоскости $z=h$. Тогда радиус диска на высоте $z$ будет $r(z) = \frac{R}{h}z$.

Момент инерции элементарного диска $dM$ относительно оси $x$ (проходящей через вершину) найдем по теореме Штейнера для этого диска: $dI_{apex,x} = dI_{диам} + dM \cdot z^2$, где $dI_{диам} = \frac{1}{4}dM [r(z)]^2$ — момент инерции диска относительно его диаметра.

$dI_{apex,x} = \frac{1}{4}dM [r(z)]^2 + dM z^2 = dM (\frac{1}{4}r^2 + z^2)$.

$dM = \rho\pi r^2 dz = \rho\pi \frac{R^2}{h^2}z^2 dz$.

$I_{apex,x} = \int_0^h \rho\pi \frac{R^2}{h^2}z^2 \left(\frac{1}{4}\frac{R^2}{h^2}z^2 + z^2\right) dz = \rho\pi \frac{R^2}{h^2} \left(\frac{R^2}{4h^2}+1\right) \int_0^h z^4 dz$

$\qquad = \rho\pi \frac{R^2(R^2+4h^2)}{4h^4} \left[ \frac{z^5}{5} \right]_0^h = \rho\pi \frac{R^2(R^2+4h^2)}{4h^4} \frac{h^5}{5} = \frac{1}{20}\rho\pi R^2 h (R^2+4h^2)$.

Выражая через массу $M$: $I_{apex,x} = \frac{3}{20}M(R^2+4h^2)$.

Ответ: $I_{apex,x} = \frac{3}{20} M (R^2 + 4h^2)$.

4. Момент инерции конуса относительно поперечной оси, проходящей через центр масс

Воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера. Ось, проходящая через центр масс, параллельна оси, проходящей через вершину. Расстояние между ними равно координате центра масс, отсчитанной от вершины: $d = z_{CM\_from\_apex} = h - \frac{h}{4} = \frac{3}{4}h$.

Теорема гласит: $I_{apex,x} = I_{CM,x} + M d^2$. Отсюда $I_{CM,x} = I_{apex,x} - M d^2$.

$I_{CM,x} = \frac{3}{20}M(R^2+4h^2) - M(\frac{3}{4}h)^2 = \frac{3}{20}MR^2 + \frac{12}{20}Mh^2 - \frac{9}{16}Mh^2$

$\qquad = \frac{3}{20}MR^2 + (\frac{3}{5} - \frac{9}{16})Mh^2 = \frac{3}{20}MR^2 + (\frac{48-45}{80})Mh^2 = \frac{3}{20}MR^2 + \frac{3}{80}Mh^2$.

$I_{CM,x} = \frac{3}{80}M(4R^2+h^2)$.

Ответ: $I_{CM,x} = \frac{3}{80} M (4R^2 + h^2)$.

5. Момент инерции конуса относительно диаметра основания

Снова применим теорему Штейнера. Диаметр основания (например, ось $x$ в первоначальной системе координат) параллелен оси, проходящей через центр масс. Расстояние между этими осями равно $d = z_{CM\_from\_base} = \frac{h}{4}$.

$I_{base,x} = I_{CM,x} + M d^2$.

$I_{base,x} = \frac{3}{80}M(4R^2+h^2) + M(\frac{h}{4})^2 = \frac{12}{80}MR^2 + \frac{3}{80}Mh^2 + \frac{1}{16}Mh^2$

$\qquad = \frac{12}{80}MR^2 + \frac{3}{80}Mh^2 + \frac{5}{80}Mh^2 = \frac{12}{80}MR^2 + \frac{8}{80}Mh^2 = \frac{3}{20}MR^2 + \frac{1}{10}Mh^2$.

Ответ: $I_{base,x} = M\left(\frac{3}{20}R^2 + \frac{1}{10}h^2\right)$.