Номер 4.76, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.76. Радиусы оснований усеченного конуса равны $\text{r}$ и $\text{R}$, а высота - $\text{h}$. Найдите его объем, если:

1) $r=3 \text{ см}$, $R=5 \text{ см}$, $h=4 \text{ см}$;

2) $r=7 \text{ мм}$, $R=12 \text{ мм}$, $h=10 \text{ мм}$;

3) $r=1 \text{ м}$, $R=8 \text{ м}$, $h=3 \text{ м}$.

Для нахождения объема усеченного конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $h$ — высота конуса.

1) По условию даны значения: $r=3$ см, $R=5$ см, $h=4$ см.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (5^2 + 5 \cdot 3 + 3^2)$

Вычисляем выражение в скобках:

$5^2 + 5 \cdot 3 + 3^2 = 25 + 15 + 9 = 49$

Теперь вычисляем объем:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 49 = \frac{196\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{196\pi}{3}$ см³.

2) По условию даны значения: $r=7$ мм, $R=12$ мм, $h=10$ мм.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 10 \cdot (12^2 + 12 \cdot 7 + 7^2)$

Вычисляем выражение в скобках:

$12^2 + 12 \cdot 7 + 7^2 = 144 + 84 + 49 = 277$

Теперь вычисляем объем:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 10 \cdot 277 = \frac{2770\pi}{3}$ мм³.

Ответ: $\frac{2770\pi}{3}$ мм³.

3) По условию даны значения: $r=1$ м, $R=8$ м, $h=3$ м.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (8^2 + 8 \cdot 1 + 1^2)$

Множители $\frac{1}{3}$ и $3$ сокращаются, поэтому формула упрощается:

$V = \pi (8^2 + 8 \cdot 1 + 1^2)$

Вычисляем выражение в скобках:

$64 + 8 + 1 = 73$

Теперь вычисляем объем:

$V = 73\pi$ м³.

Ответ: $73\pi$ м³.