Номер 4.77, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.77. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная $\text{d}$, образует с его образующей угол $\varphi$. Найдите объем цилиндра, если:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ (которая равна его образующей) и диаметр основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $h$ и $D$. Угол $\phi$ — это угол между диагональю $d$ и образующей $h$.

В этом прямоугольном треугольнике высота цилиндра $h$ является прилежащим катетом к углу $\phi$, а диаметр основания $D$ — противолежащим катетом. Используя тригонометрические определения, получаем:

$h = d \cdot \cos{\phi}$

$D = d \cdot \sin{\phi}$

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{d \cdot \sin{\phi}}{2}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

1) Дано: $d = 12$ см, $\phi = 30^\circ$.

Найдем высоту цилиндра:

$h = d \cdot \cos{\phi} = 12 \cdot \cos{30^\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Найдем радиус основания:

$R = \frac{d \cdot \sin{\phi}}{2} = \frac{12 \cdot \sin{30^\circ}}{2} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь вычислим объем цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6\sqrt{3} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см³.

2) Дано: $d = 2\sqrt{2}$ м, $\phi = 45^\circ$.

Найдем высоту цилиндра:

$h = d \cdot \cos{\phi} = 2\sqrt{2} \cdot \cos{45^\circ} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ м.

Найдем радиус основания:

$R = \frac{d \cdot \sin{\phi}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м.

Теперь вычислим объем цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ м³.

Ответ: $2\pi$ м³.

3) Дано: $d = 18$ дм, $\phi = 60^\circ$.

Найдем высоту цилиндра:

$h = d \cdot \cos{\phi} = 18 \cdot \cos{60^\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ дм.

Найдем радиус основания:

$R = \frac{d \cdot \sin{\phi}}{2} = \frac{18 \cdot \sin{60^\circ}}{2} = \frac{18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ дм.

Теперь вычислим объем цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 9 = \pi \cdot \frac{81 \cdot 3}{4} \cdot 9 = \pi \cdot \frac{243}{4} \cdot 9 = \frac{2187\pi}{4}$ дм³.

Ответ: $\frac{2187\pi}{4}$ дм³.