Номер 4.78, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.78. Образующая конуса равна $\text{l}$, а угол при вершине осевого сечения $\phi$. Найдите объем конуса, если:

1) $l = 20$ см, $\phi = 60^\circ$;

2) $l = 5\sqrt{2}$ м, $\phi = 90^\circ$;

3) $l = 12$ дм, $\phi = 120^\circ$.

Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, боковые стороны которого равны образующей $l$, а угол при вершине равен $\varphi$. Высота конуса $h$ и радиус его основания $r$ могут быть найдены из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей. Угол при вершине этого треугольника равен $\frac{\varphi}{2}$.

Таким образом, радиус основания $r$ и высота $h$ выражаются через образующую $l$ и угол $\varphi$ следующими соотношениями:

$r = l \cdot \sin(\frac{\varphi}{2})$

$h = l \cdot \cos(\frac{\varphi}{2})$

1) Дано: $l = 20$ см, $\varphi = 60^\circ$.

Находим половину угла при вершине: $\frac{\varphi}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Вычисляем радиус и высоту:

$r = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

$h = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

Находим объем конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (10)^2 \cdot 10\sqrt{3} = \frac{1000\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{1000\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.

2) Дано: $l = 5\sqrt{2}$ м, $\varphi = 90^\circ$.

Находим половину угла при вершине: $\frac{\varphi}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Вычисляем радиус и высоту:

$r = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ м.

$h = 5\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ м.

Находим объем конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \frac{125}{3}\pi$ м$^3$.

Ответ: $\frac{125}{3}\pi$ м$^3$.

3) Дано: $l = 12$ дм, $\varphi = 120^\circ$.

Находим половину угла при вершине: $\frac{\varphi}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Вычисляем радиус и высоту:

$r = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ дм.

$h = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ дм.

Находим объем конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot (36 \cdot 3) \cdot 6 = 2 \cdot 108\pi = 216\pi$ дм$^3$.

Ответ: $216\pi$ дм$^3$.