Номер 4.85, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.85. Высота конуса объемом $\text{V}$ разделена на три равные части. Через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, которые делят конус на три части. Найдите объем средней части.

Пусть $V$ — объем исходного конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус основания. Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Высота конуса разделена на три равные части, то есть на отрезки длиной $\frac{H}{3}$. Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, подобных исходному. Обозначим эти конусы и их объемы:

• $K_1$ — самый маленький конус (верхняя часть) с высотой $h_1 = \frac{H}{3}$. Его объем обозначим $V_1$.

• $K_2$ — средний по размеру конус, состоящий из верхней и средней частей, с высотой $h_2 = \frac{2H}{3}$. Его объем обозначим $V_2$.

• $K$ — исходный конус с высотой $H$ и объемом $V$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия можно найти как отношение их соответствующих линейных размеров, например, высот.

Найдем объем конуса $K_1$. Коэффициент подобия конуса $K_1$ и исходного конуса $K$ равен отношению их высот:

$k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{H/3}{H} = \frac{1}{3}$

Тогда отношение их объемов равно:

$\frac{V_1}{V} = k_1^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$

Отсюда объем верхней части: $V_1 = \frac{1}{27}V$.

Теперь найдем объем конуса $K_2$. Коэффициент подобия конуса $K_2$ и исходного конуса $K$ равен:

$k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{2H/3}{H} = \frac{2}{3}$

Отношение их объемов равно:

$\frac{V_2}{V} = k_2^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

Отсюда объем конуса $K_2$: $V_2 = \frac{8}{27}V$.

Средняя часть конуса представляет собой усеченный конус. Его объем $V_{сред}$ можно найти как разность объемов конуса $K_2$ и конуса $K_1$.

$V_{сред} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$

Ответ: Объем средней части равен $\frac{7}{27}V$.