Номер 4.87, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.87. Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности которого является полукругом радиусом 15 см.

Для нахождения объема конуса $V$ используется формула $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания конуса, а $h$ - его высота.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. По условию, это полукруг радиусом 15 см. Радиус этого полукруга является образующей конуса $l$. Таким образом, $l = 15$ см.

Длина дуги развертки (полукруга) равна длине окружности основания конуса. Найдем длину дуги полукруга с радиусом $l = 15$ см:

$L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi l = \pi l = \pi \cdot 15 = 15\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C_{основания} = 2\pi r$. Так как $L_{дуги} = C_{основания}$, получаем:

$15\pi = 2\pi r$

Разделив обе части на $2\pi$, найдем радиус основания конуса $r$:

$r = \frac{15\pi}{2\pi} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Теперь найдем высоту конуса $h$. Образующая $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

Отсюда выразим высоту: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Подставим известные значения $l = 15$ см и $r = 7.5$ см:

$h = \sqrt{15^2 - (7.5)^2} = \sqrt{225 - 56.25} = \sqrt{168.75}$.

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $168.75 = \frac{16875}{100} = \frac{675}{4}$.

$h = \sqrt{\frac{675}{4}} = \frac{\sqrt{675}}{2} = \frac{\sqrt{225 \cdot 3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} = 7.5\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем конуса, подставив значения $r$ и $h$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (7.5)^2 (7.5\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi (\frac{15}{2})^2 (\frac{15\sqrt{3}}{2})$.

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{225}{4} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi \cdot 225 \cdot 15\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi \cdot 75 \cdot 15\sqrt{3}}{8} = \frac{1125\sqrt{3}}{8}\pi$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{1125\sqrt{3}}{8}\pi$ см$^3$.