Номер 4.94, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.94. Объемы шара и цилиндра, имеющие равные радиусы, равны между собой. Найдите отношение высоты цилиндра к радиусу шара.

Пусть $R$ — радиус шара и, по условию, радиус основания цилиндра. Пусть $H$ — высота цилиндра.

Формула для вычисления объема шара ($V_{шара}$): $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Формула для вычисления объема цилиндра ($V_{цилиндра}$): $V_{цилиндра} = \pi R^2 H$

По условию задачи, объемы шара и цилиндра равны между собой: $V_{шара} = V_{цилиндра}$

Подставим формулы объемов в это равенство: $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 H$

Нам необходимо найти отношение высоты цилиндра к радиусу шара, то есть величину $\frac{H}{R}$. Для этого выразим $H$ из полученного уравнения. Разделим обе части равенства на $\pi R^2$. Так как радиус $R$ не может быть равен нулю, это действие корректно.

$\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 H}{\pi R^2}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе получаем: $\frac{4}{3}R = H$

Теперь, чтобы найти искомое отношение $\frac{H}{R}$, разделим обе части последнего равенства на $R$: $\frac{H}{R} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.