Номер 4.95, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.95. Вершины куба с ребром 1 являются центрами шаров с одинаковыми радиусами. Объем части куба, расположенной вне этих шаров, равен $\frac{1}{2}$. Какая часть ребра куба находится вне шаров?

Нахождение радиуса шаров

Пусть ребро куба равно $a=1$. Тогда объем куба $V_{куба} = a^3 = 1^3 = 1$.

По условию, объем части куба, расположенной вне шаров, равен $V_{вне} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, объем части куба, которая находится внутри всех шаров, равен разности общего объема куба и объема вне шаров: $V_{внутри} = V_{куба} - V_{вне} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

У куба 8 вершин, и в каждой вершине находится центр шара. Часть каждого шара, находящаяся внутри куба, представляет собой шаровой сектор, объем которого составляет $\frac{1}{8}$ от объема всего шара, так как в вершине куба сходятся три взаимно перпендикулярные плоскости, образуя телесный угол, равный $\frac{1}{8}$ от полного ($4\pi$ стерадиан).

Пусть $r$ — радиус каждого шара. Объем одного шара равен $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Объем части одного шара внутри куба равен $\frac{1}{8} V_{шара} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi r^3$.

Так как таких частей 8 (по одной от каждой вершины), их суммарный объем равен $V_{внутри} = 8 \cdot \frac{1}{6}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Приравнивая два выражения для $V_{внутри}$, получаем уравнение: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим $r^3$: $r^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{8\pi}$.

Нахождение части ребра куба вне шаров

Рассмотрим одно ребро куба. Его длина равна $a=1$. Ребро соединяет две вершины, в каждой из которых находится центр шара радиуса $r$.

На этом ребре отрезок, покрытый первым шаром (с центром в одной вершине), имеет длину $r$. Отрезок, покрытый вторым шаром (с центром в другой вершине), также имеет длину $r$.

Поскольку $r^3 = \frac{3}{8\pi}$, то $r = \sqrt[3]{\frac{3}{8\pi}}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $8\pi > 24$, и $r^3 < \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$. Следовательно, $r < \frac{1}{2}$, а $2r < 1$. Это означает, что отрезки на ребре, покрытые шарами, не пересекаются.

Общая длина частей ребра, находящихся внутри шаров, равна $r + r = 2r$.

Длина части ребра, находящейся вне шаров, равна $L_{вне} = a - 2r = 1 - 2r$.

Поскольку общая длина ребра равна 1, эта длина $L_{вне}$ и есть искомая часть (доля) ребра. Подставим выражение для $r$: $1 - 2\sqrt[3]{\frac{3}{8\pi}}$.

Упростим выражение: $2\sqrt[3]{\frac{3}{8\pi}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{8\pi}} = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{3}{8\pi}} = \sqrt[3]{\frac{3}{\pi}}$.

Таким образом, искомая часть ребра равна $1 - \sqrt[3]{\frac{3}{\pi}}$.

Ответ: $1 - \sqrt[3]{\frac{3}{\pi}}$