Работа в группе, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Для того чтобы около данной пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность (рис. 4.36). При обосновании утверждения используйте соответствующие готовые рисунки.

Рис. 4.36

Утверждение гласит, что для существования сферы, описанной около пирамиды, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность. Докажем это утверждение в двух частях: необходимость и достаточность.

Необходимость

Докажем, что если около пирамиды можно описать сферу, то около ее основания можно описать окружность.

Пусть около пирамиды $S-A_1A_2...A_n$ описана сфера. Это означает, что все вершины пирамиды, включая вершину $S$ и все вершины основания $A_1, A_2, ..., A_n$, лежат на поверхности этой сферы.

Все вершины основания $A_1, A_2, ..., A_n$ принадлежат как сфере, так и плоскости основания. Геометрическое место точек, принадлежащих одновременно сфере и секущей плоскости (в данном случае плоскости основания), является окружностью (или точкой, или пустым множеством, но так как вершины основания лежат на этом пересечении, это именно окружность).

Следовательно, все вершины основания $A_1, A_2, ..., A_n$ лежат на одной окружности, которая является сечением сферы плоскостью основания. Это по определению означает, что около многоугольника, являющегося основанием пирамиды, можно описать окружность.

Ответ: Доказано, что если около пирамиды можно описать сферу, то около ее основания можно описать окружность.

Достаточность

Докажем, что если около основания пирамиды можно описать окружность, то около самой пирамиды можно описать сферу.

Пусть около основания $A_1A_2...A_n$ пирамиды $S-A_1A_2...A_n$ можно описать окружность. Центр этой описанной окружности, обозначим его $O_1$ (как на рис. 4.36), равноудален от всех вершин основания: $O_1A_1 = O_1A_2 = ... = O_1A_n$.

Множество всех точек пространства, равноудаленных от вершин основания $A_1, A_2, ..., A_n$, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости основания и проходящую через центр описанной около него окружности $O_1$. Назовем эту прямую $l$. Любая точка на прямой $l$ равноудалена от всех вершин основания.

Теперь нам нужно найти на этой прямой $l$ такую точку $O$, которая будет равноудалена не только от вершин основания, но и от вершины пирамиды $S$. То есть, нам нужно найти точку $O$ на прямой $l$ такую, что $OA_1 = OS$ (поскольку $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$ для любой точки $O$ на прямой $l$).

Рассмотрим плоскость, проходящую через середину бокового ребра, например $SA_1$, и перпендикулярную ему. Эта плоскость является геометрическим местом точек, равноудаленных от точек $S$ и $A_1$.

Эта плоскость пересечет прямую $l$ в некоторой точке $O$ (за исключением частного случая, когда прямая $l$ параллельна этой плоскости, что означало бы, что ребро $SA_1$ перпендикулярно оси $l$, но и в этом случае решение существует). Так как точка $O$ лежит на прямой $l$, она равноудалена от всех вершин основания: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$. Так как точка $O$ лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $SA_1$ и проходящей через его середину, она равноудалена от концов этого отрезка: $OS = OA_1$.

Объединяя эти равенства, получаем: $OS = OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Это означает, что мы нашли точку $O$, равноудаленную от всех вершин пирамиды. Эта точка и является центром сферы, описанной около пирамиды, а расстояние от нее до любой вершины является радиусом $R$ этой сферы. Таким образом, такая сфера существует.

Ответ: Доказано, что если около основания пирамиды можно описать окружность, то около самой пирамиды можно описать сферу.