Номер 4.102, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.102. Найдите объем:

1) цилиндра;

2) конуса, вписанного в куб объемом 216 $m^3$. Причем вершиной конуса является центр верхней грани куба.

Для начала найдем длину ребра куба. Объем куба вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$, где $a$ – длина его ребра.

Из условия задачи известно, что $V_{куба} = 216 \text{ м}^3$.

Таким образом, $a^3 = 216$, и мы можем найти $a$: $a = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ м}$.

1) цилиндра

Цилиндр, вписанный в куб, имеет высоту, равную ребру куба, и основание, вписанное в грань куба. Следовательно, высота цилиндра $h$ равна стороне куба $a$, а диаметр основания цилиндра равен стороне куба $a$.

Высота цилиндра: $h = a = 6 \text{ м}$.

Радиус основания цилиндра: $r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$.

Подставим найденные значения в формулу:

$V_{цил} = \pi \cdot (3 \text{ м})^2 \cdot 6 \text{ м} = \pi \cdot 9 \text{ м}^2 \cdot 6 \text{ м} = 54\pi \text{ м}^3$.

Ответ: $54\pi \text{ м}^3$.

2) конуса

Конус вписан в куб, причем его вершина является центром верхней грани куба. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в нижнюю грань куба, а высота конуса равна ребру куба.

Радиус основания конуса: $r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

Высота конуса: $h = a = 6 \text{ м}$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим найденные значения в формулу:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ м})^2 \cdot 6 \text{ м} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ м}^2 \cdot 6 \text{ м} = 18\pi \text{ м}^3$.

Ответ: $18\pi \text{ м}^3$.