Номер 4.103, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.103. В сферу радиусом 5 см вписан цилиндр, высота которого равна 6 см. Найдите объем цилиндра (рис. 4.43).

Рис. 4.43

По условию задачи, радиус сферы $R = 5$ см, а высота вписанного в нее цилиндра $H = 6$ см. Требуется найти объем цилиндра $V_{cyl}$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{cyl} = S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ - площадь основания, а $H$ - высота. Так как основание цилиндра - это круг, его площадь равна $S_{base} = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания цилиндра. Таким образом, формула для объема принимает вид: $V_{cyl} = \pi r^2 H$.

Для вычисления объема нам необходимо найти радиус основания цилиндра $r$. Так как цилиндр вписан в сферу, его центр совпадает с центром сферы. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (сечение цилиндра), вписанный в большой круг сферы (сечение сферы).

Образуем прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $H/2$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (H/2)^2$

Подставим известные значения: $R = 5$ см и $H = 6$ см. Тогда половина высоты $H/2 = 6 / 2 = 3$ см.

$5^2 = r^2 + 3^2$

$25 = r^2 + 9$

Найдем квадрат радиуса основания цилиндра:

$r^2 = 25 - 9 = 16$ см$^2$

Теперь мы можем рассчитать объем цилиндра, используя найденное значение $r^2$ и данную высоту $H$:

$V_{cyl} = \pi r^2 H = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$ см$^3$.

Ответ: $96\pi$ см$^3$.